Про моделювання радіальних функцій щільності планет земної групи Авторська платформа
Вісті Гомельського державного університету
імені Ф. Скорини, № 6 (99), 2016
Про моделювання радіальних функцій щільності планет земної групи
У наближенні сферичної симетрії та з урахуванням фізично коректної радіальної поведінки проведено моделювання функцій щільності планет земної групи з параболічною добавкою. На цій основі запропоновано узагальнену форму функції щільності для шаруватої структури. Здійснено розрахунок мас планет земної групи за усередненими характеристиками. Дана коротка оцінка результатів моделювання.
Ключові слова:функція щільності, шаровий шар, гіпергеометрична функція, гамма-функція, функція Хевісайда, планета земної групи.
За допомогою поширення сферичних симметрій і фізичних radial behavior the density функцій територіальних planets simulated in several analytical forms with parabolic term. На цій основі грунтовних функцій загальні форми для згорнутих будов є підготовлені. Маси з територіальних територій є визначені з певними характеристиками. Можливе застосування simulation results is evaluated.
Keywords:density функція, сферична функція, hyper-geometric функція, gamma function, Heaviside Step function, terrestrial planet.
Введение.До сьогодні проблема внутрішньої будови зірок і планет є достовірно невирішеною і, отже, актуальною [1]–[3]. Істотну роль її вирішенні грає функція щільності, яка планет земної групи у доброму наближенні може вважатися радіально-симетричною , оскільки серед них найбільше полярне стиск характерно для Марса і становить лише 0,00589. Данафункція щільності визначає масу планети, що в даному випадку задається інтегралом
(1)
також, вона фігурує в рівнянні рівноваги
,
та у ряді інших важливих рівнянь теорії внутрішньої будови. Тому моделювання функції густини є важливим завданням в рамках зазначеної проблематики.
Ця робота є прямим продовженням роботи [4], в якому реалізується вдосконалення раніше запропонованих модельних функцій щільності в рамках часткового або повного задоволення умов вигнутості
(2)
наступному з рівняння Адамса-Вільямсона [2], [3], для чого запропоновано використовувати просту параболічну добавку. Нормування нових функцій щільності залишаються колишніми і ґрунтуються на знанні поверхневої щільності та щільності в центрі планети. Врахування шаруватої структури також реалізується за допомогою θ-функції Хевісайда. Коефіцієнти зшивання вважаються одиничними, ніж змінювати перенормування функції щільності. Використання непоодиноких коефіцієнтів зшивання потребує окремого вивчення, що передбачається зробити надалі.
Модельні функції щільності.
I. Наближення лінійної функцією з параболічною добавкою.До функції щільності з лінійною радіальною залежністю додаємо параболічну частину, що також убуває зі зростанням аргументу. У цьому випадку функція задається виразом
(3)
На основі цього маса планети (1) виявляється рівною
(4)
II. Цікаво розглянути також і функцію щільності суто параболічного виду, оскільки вона повністю задовольняє умову (2). В цьому випадку
(5)
та відповідна маса
(6)
Таким чином, вирази для мас з функціямигустини (3), (5) мають дуже зручний поліноміальний вигляд (4), (6).
III. Наближення статечною функцією з параболічної добавкою.Наступна модельна функція виходить, якщо раніше запропонованої функції з експоненційною поведінкою [4] врахувати умову нормування і зробити відповідну добавку, тобто
(7)
при цьому маса набуде вигляду
(8)
де введено параметр
а – нижня неповна гамма-функція [5].
IV Наближення зворотною функцією з параболічною добавкою.І нарешті, остання пропонована в цій роботі модифікаціявиду
(9)
що призводить до маси планети рівної
(10)
Тут – гіпергеометрична функція [5], з радіальною залежністю з коефіцієнтом
В останніх двох випадках вирази для мас (8), (10) містять спеціальні функції, однак це не ускладнює розрахунку мас, якщо використовувати можливості аналітичного або чисельного інтегрування за допомогою сучасних програмних пакетів, наприклад,WolframMathematica.
Функція щільності для кулі з шаруватою структурою.Метод використання введених функцій щільності у разі обліку шаруватої структури планети полягає в їх пошаровому підсумовуванні з використанням обрізає на межах шару функції Хевісайда. При цьому узагальнена функція щільності набуває вигляду
(11)
де: – функція щільності, присутність у якої індексуjговорить про прив'язку доj-му наближенню, тоді як індексkнумерує шар; також вважаємо – функція Хевісайду.
Слід зауважити, що пряме інтегрування функції щільності (11) необов'язково, так як його результат може бути представлений у вигляді суми мас шарових шарів, одержуваних при використанні формул (4),(6), (8) та (10). Тому масу планети, що складається зnшарів, записуємо у вигляді
(12)
де - масаk-го кульового шару, яка виражається як різниця мас куль різних радіусів.
Модельний розрахунок мас планет земної групи.Використовуємо запропоновані нами модифіковані модельні функції щільності для розрахунку мас планет земної групи на основі їх відомих характеристик [6]–[8], поданих у таблиці 1.
Таблиця 1 - Характеристики планет земної групи
у центрі планети (кг/м3)
Поверхнева густина речовини планети (кг/м3)
Як особливо цінне джерело достовірних астрофізичних даних слід відзначити Internet-ресурс [8].
Далі враховуватимемо визнану внутрішню структуру аналізованих планет [7], [8], що складається з п'яти компонентів у Землі (кора, верхня мантія, мантія, зовнішнє ядро, внутрішнє ядро) і трьох компонентів у Меркурія, Венери та Марса (кора, мантія, ядро). Розрахунки проводимо, варіюючи комбінації функцій щільності для вказаних чисел шарів. З модифікованими функціями щільності маємо близько 150 комбінацій. Якщо ж комбінувати всі вісім модельних варіантів розподілу, кількість комбінацій наближатися до 5·105.
У таблиці 2 наведено три найкращі результати розрахунку мас у рамках зазначеного підходу.
Таблиця 2 - Розрахункова маса з урахуванням шаруватої структури
Розрахункова маса (кг)
Отримані результати можна порівняти з реальними масами планет. Тепер покращені результати більш точні та відхиляються від дійсних мас наступним чином:
- На 0,059% вище у Меркурія (I-II-III);
- На 0,150% нижче у Венери (II-I-IV);
- На 0,022% нижче у Землі (II-II-I-I-III);
- На 0,199% вище у Марса (I-II-III).
Наведені результати моделювання можна як більш якісні проти [4], а відповідні модельні функції щільності досить близькі до реальних розподілів мас, допускають використання під час вирішення відповідних завдань. Відхилення у бік зменшення мас планет Земля і Венера говорить нам про необхідність урахування розподілу маси в їх атмосферах.
Висновок.Таким чином, у роботі проведено видозміну модельних функцій щільності, запропонованих у [4], для планет земної групи шляхом параболічної добавки, що зробило їх частково або повністю опуклими. Остання вимога простежується за низкою досліджень, що згадуються в монографіях [6] та [7]. Розрахунки показали, що нове модельне поведінка функцій щільності вважатимуться достовірнішим. Воно з більшою точністю може бути використане при вирішенні рівнянь динамічної рівноваги та інших завдань теорії внутрішньої будови планет. Також, безсумнівно, до поліпшення результатів може призвести облік розподілу маси в атмосферах, а також деформацій, пов'язаних із відцентровим ефектом.
1. Carroll, B. W. An Introduction до Modern Astrophysics / B. W. Carroll, D. A. Ostlie. - Pearson International Edition, 2007. - 1309 p.
2. Магніцький, будова та фізика Землі / . - Москва: Наука, 2006. - 390 с.
3. Вільям, Б. Внутрішня будова планет/Б. Вільям. - Москва: Світ, 1987. - 328 c.
4. Тюменков, радіальної функції щільності гравітуючої кулі / , , // Проблеми фізики, математики та техніки. - 2014. - № 4 (21). – С. 36–39.
5. Ковалів, функції / . - Москва: Вища школа, 1962. - 249 с.
6. Anderson, D. L. Theory of the Earth / D. L. Anderson, E. C. Robertson. - Boston: Blackwell Publications, 1989. - 366 p.
7. Jordan, T. H. Structural Geology of Earth's Interior / T. H. Jordan // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 2014. - Vol. 76 № 8. - P. 4192-4200.