Проблема Гольдбаху
Проблема Гольдбаха(гіпотеза Гольдбаха,проблема Ейлера,бінарна проблема Гольдбаха) — твердження про те, що будь-яке парне число, починаючи з 4 , можна у вигляді суми двох простих чисел.
Проблема Гольдбаха є відомою відкритою математичною проблемою; в сукупності з гіпотезою Рімана включена під номером 8 до списку проблем Гільберта (1900) і є однією з небагатьох проблем Гільберта, які досі залишаються невирішеними станом на 2019 рік.
Більш слабкий варіант гіпотези —тернарна проблема Гольдбаха[⇨] , згідно з якою будь-яке непарне число, починаючи з 7, можна подати у вигляді трьох простих чисел, було доведено в 2013 році перуанським математиком Харальдом Гельфготтом. Зі справедливості затвердження бінарної проблеми Гольдбаха очевидно випливає справедливість тернарної проблеми Гольдбаха: якщо кожне парне число, починаючи з 4, є сума двох простих чисел, то додаючи 3 до кожного парного числа, можна отримати всі непарні числа, починаючи з 7.
Зміст
У 1742 році математик Крістіан Гольдбах надіслав листа Леонарду Ейлеру, в якому він висловив таке припущення:
Кожне непарне число, більше 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел.
Ейлер зацікавився проблемою і висунув сильнішу гіпотезу:
Кожне парне число, більше двох, можна подати у вигляді суми двох простих чисел.
Перше твердження називаєтьсятернарною проблемою Гольдбаха, друге -бінарною проблемою Гольдбаха(абопроблемою Ейлера).
Радянським математиком Левом Шнірельманом в 1930-і роки доведено, що всяке перевищує одиницю ціле число представимо у вигляді суми не більше 300 тис. простих чисел [2] ,Надалі результат покращувався, до 1995 вдалося скоротити кількість доданків до шести.
У 1923 році математики Харді та Літлвуд показали, що у разі справедливості деякого узагальнення гіпотези Рімана проблема Гольдбаха вірна для всіх досить великих непарних чисел.
У 1937 році Виноградов представив доказ, який не залежить від справедливості гіпотези Рімана, тобто довів, що будь-яке досить велике непарне число може бути подане у вигляді суми трьох простих. Сам Виноградов не дав явної оцінки для цього «досить великої кількості», але його студент Костянтин Бороздін довів, що нижня межа не перевищує 3 3 15 ≈ 3,25×10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . Тобто це число містить майже 7 мільйонів цифр, що унеможливлює пряму перевірку всіх менших чисел.
Надалі результат Виноградова багаторазово покращували, поки в 1989 Ван і Чэнь не опустили [3] нижню грань доee11,503 ≈ 3,33339×10 43 000 ≈ 10 43 000, 5 що, як і раніше, було поза межами досяжності для явної перевірки всіх менших чисел.
В 1997 Дезуйє, Ефінгер, ті Ріле і Зінов'єв показали [4] , що узагальнена гіпотеза Рімана тягне за собою справедливість тернарної проблеми Гольдбаха. Вони довели її справедливість для чисел, що перевищують 10 20 , тоді як справедливість затвердження для менших чисел легко встановлюється на комп'ютері.
У 2013 році тернарна гіпотеза Гольдбаха була остаточно доведена Харальдом Гельфготтом [5] [6] [7] [8] .
Бінарна проблема Гольдбаха все ще далека від рішення.
Виноградів у 1937 році і Теодор Естерманн у 1938 році показали, що майже всі парні числа є у вигляді суми двох простих чисел. Цей результат трохи посилено 1975 року Х'ю Монтгомері (англ. HughMontgomery) і Бобом Воном (англ. Bob Vaughan), вони показали, що існують позитивні константиcіCтакі, що кількість парних чисел, не більшихN, непредставних у вигляді суми двох простих чисел, що не перевищує C N 1 − c > .
У 1930 році Шнірельман довів, що будь-яке ціле число представимо у вигляді суми не більше ніж 800 000 простих чисел. [9] Цей результат багаторазово покращувався, так, в 1995 Олів'є Рамаре довів, що будь-яке парне число - сума не більше ніж 6 простих чисел.
Зі справедливості тернарної гіпотези Гольдбаха (доведеної у 2013 році) випливає, що будь-яке парне число — сума не більше ніж 4 простих чисел.
У 1966 році Чень Цзинжунь довів, що будь-яке досить велике парне число представимо або у вигляді суми двох простих чисел, або у вигляді суми простого числа і напівпростого (твори двох простих чисел). Наприклад, 100 = 23 + 7 · 11.
Якщо бінарна гіпотеза Гольдбаха невірна, існує алгоритм, який рано чи пізно виявить її порушення.
Бінарна гіпотеза Гольдбаха може бути переформульована як твердження про нерозв'язність діофантового рівняння 4-го ступеня деякого спеціального виду [11] [12] .