Проекції плоских кутів, Нарисна геометрія
Властивості ортогональних проекцій плоских кутів:
1. Якщо сторони кута не паралельні площині проекції, то кут проектується на цю площину з спотворенням.
Нехай сторони AB та BC ∠ABC рівнонахилені до площини α
∠AB α C – проекція ∠ABC на площину α. Сумісний ∠ABC із площиною α шляхом обертання навколо (AC)⊂α.
У цьому випадку ∠AB α C виявиться всередині ∠AB0C, а їх вершини B α та B0 на одній прямій (DB0⊥AC). Отже,
2. Якщо хоча б одна сторона тупого, прямого або гострого кута паралельна площині проекції, то проекцією кута на цю площину буде кут з тією ж назвою, що і сам кут (тупий, прямий, гострий).
[AB]║α. Будуємо тупий ∠ABC і гострий ∠ABD. Сторону BD кута ∠ABD проводимо так, щоб [BD] належав площині, яка визначається точками A, B, C [BD]⊂(A, B, C).
Проводимо у площині (A, B, C), [BE]⊥[AB]. Так як ∠ABE прямий, а сторона кута [AB]║α, то проекція цього кута на площину α також дорівнюватиме 90°.
З креслення видно, що ∠A α B α D α BαC > 90 °. при цьому:
а) проекція гострого кута буде меншою за проектований кут.
б) прямий кут проектується без спотворень.
в) проекція тупого кута більша за проектований кут.
Якщо проекція деякого кута, у якого одна сторона, паралельна площині проекції, дорівнює прямому куту, то і кут, що проектується, також прямий.
3. Якщо обидві сторони будь-якого кута паралельні площині проекції, то кут проектується на цю площину без спотворення.
4.Проекції гострого та тупого кутів можуть проектуватися на площину проекції без спотворення не лише за умови паралельності сторін кута площини проекції.
З креслення видно, щовсі кути з вершиною на прямій (MN), сторони яких розташовані в площинах, що проектують β і γ, проектуються в ∠KNL; при цьому проектовані кути ∠BAD та ∠BAC можуть змінюватися в межах від 0 до 180°. Природно, серед них буде кут, що дорівнює ∠KNL.
5. Якщо сторони кута паралельні площині проекції або однаково нахилені до неї, то поділ навпіл проекції кута відповідає його поділу навпіл у просторі.
Сторони ∠ABC нахилені під однаковим кутом до площини проекції α: ∠AaαA α = ∠BbαB α . ∠A α B α C α - ортогональна проекція ∠ABC на площину α. [B α D α) - бісектриса ∠A α B α C α. На підставі властивостей бісектриси внутрішнього кута в трикутнику
Але за властивістю інваріантного проектування - якщо відрізок прямий ділиться точкою у будь-якому відношенні, то і проекція відрізка ділиться проекцією цієї точки в тому самому відношенні.