Проекції точки
It`s help you! By Taras, Ставропол. На місцях попуску повинні бути малюнки (площин, епюрів тощо)
ОРТОГОНАЛЬНА СИСТЕМА ДВОХ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ. Сутність методу ортогонального проектування полягає в тому, що предмет проектується на дві взаємно перпендикулярні площині променями, ортогональними (перпендикулярними) до цих площин. Площина H називають горизонтальною площиною проекцій, V - фронтальною. Площини H і V нескінченні та непрозорі. Лінія перетину площин проекцій називається віссю координат і позначається OX. Площини проекцій ділять простір на чотири двогранні кути - чверті.
Розглядаючи ортогональні проекції, припускають, що спостерігач знаходиться у першій чверті на нескінченно великій відстані від площин проекцій. Так як ці площини непрозорі, то видимими для спостерігача будуть ті точки, лінії і фігури, які розташовані в межах тієї ж першої чверті. При побудові проекцій необхідно пам'ятати, що ортогональною проекцією точки на площину називається основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на цю площину. На малюнку показано точку А та її ортогональні проекції а1 та а2. Точку а1 називають горизонтальною проекцією точки А, точку а2 – її фронтальною проекцією. Кожна з них є основою перпендикуляра, опущеного з точки А відповідно на площині H і V. Можна довести, що проекції точки завжди розташовані на прямих, перпендикулярних осі ОХ і перетинають цю вісь в одній точці. Справді, проецірующие промені Аа1 і Аа2 визначають площину, перпендикулярну до площин проекцій і лінії їх перетину - осі ОХ.Ця площина перетинає H і V за прямими а1 аx і а1 аx, які утворюють з віссю OX і один з одним прямі кути з вершиною в точці аx. Справедливо і зворотне, тобто. якщо на площинах проекцій дано точки a1 і a2, розташовані на прямих, що перетинають вісь OX в даній точці під прямим кутом, то вони є проекціями деякої точки А. Ця точка визначається перетином перпендикулярів, відновлених з точок a1 і a2 до площин H і V. Зауважимо, що положення площин проекцій у просторі може виявитися іншим. Наприклад, обидві площини, будучи взаємно перпендикулярними, можуть бути вертикальними. Щоб отримати плоский креслення, що складається із зазначених вище проекцій, площину H поєднують обертанням навколо осі OX з площиною V, як показано стрілками на малюнку. В результаті передня напівплощина H буде поєднана з нижньою напівплощиною V, а задня напівплощина H - з верхньою напівплощиною V. Проекційний креслення, на якому площини проекцій з усім тим, що на них зображено, суміщені певним чином одна з одною, називається епюром (Від франц. Еpure - креслення). На малюнку показано епюр точки А .
При такому способі суміщення площин H і V проекції a1 і a2 будуть розташовані на одному перпендикулярі до осі OX. При цьому відстань a1ax - від горизонтальної проекції точки до осі OX дорівнює відстані від самої точки А до площини V, а відстань a2ax - від фронтальної проекції точки до осі OX дорівнює відстані від точки А до площини H. Прямі лінії, що з'єднують Різноманітні проекції точки на епюрі, умовимося називати лініями проекційного зв'язку. Положення проекцій точок на епюрі залежить від того, в якійчверті знаходиться ця точка. Так, якщо точка розташована в другій чверті, то після суміщення площин обидві проекції виявляться лежать над віссю OX.
Якщо точка знаходиться в третій чверті, то її горизонтальна проекція після суміщення площин виявиться над віссю, а фронтальна - під віссю OX. Нарешті, якщо точка D розташована четвертій чверті, то обидві проекції її опиняться під віссю OX. На малюнку показані точки М та N, що лежать на площинах проекцій. При такому положенні точка збігається з однією зі своїх проекцій, інша проекція її виявляється лежачою на осі OX. Ця особливість відображена і в позначенні: біля проекції, з якою збігається сама точка, пишеться велика літера без індексу. Слід зазначити і випадок, коли обидві проекції точки збігаються. Так буде, якщо точка знаходиться у другій чи четвертій чверті на однаковій відстані від площин проекцій. Обидві проекції поєднуються з точкою, якщо остання розташована на осі OX.
ОРТОГОНАЛЬНА СИСТЕМА ТРИХ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ.
Вище було показано, що дві проекції точки визначають її положення у просторі. Оскільки кожна фігура чи тіло є сукупність точок, можна стверджувати, як і дві ортогональні проекції предмета (за наявності буквених позначень) цілком визначають його форму. Однак у практиці зображення будівельних конструкцій, машин та різних інженерних споруд виникає потреба у створенні додаткових проекцій. Вчиняють так з єдиною метою - зробити проекційне креслення більш ясним, легкочитаним. Модель трьох площин проекцій показано малюнку. Третя площина, перпендикулярна H і V, позначається буквою W і називається профільною.
Проекції точок на цю площину також іменуватимутьсяпрофільними, а позначають їх великими літерами чи цифрами з індексом 3 (aз, bз, cз, .1з, 2з, 33.). Площини проекцій, попарно перетинаючи, визначають три осі: ОX, ОY і ОZ, які можна розглядати як систему прямокутних декартових координат у просторі з початком у точці О. Система знаків, вказана на малюнку, відповідає "правій системі" координат.
Три площини проекцій ділять простір на вісім трикутних кутів – це звані октанти. Нумерація октантів дана малюнку. Як і раніше, вважатимемо, що глядач, що розглядає предмет, знаходиться в першому октанті. Для отримання епюру площини H і W обертають, як показано на малюнку, до суміщення з площиною V. В результаті обертання передня напівплощина H виявляється поєднаною з нижньою напівплощиною V, а задня напівплощина H - з верхньою напівплощиною V. При повороті на 90 ° навколо осі ОZ передня напівплощина W поєднається з правою напівплощиною V, а задня напівплощина W - з лівою напівплощиною V.
Остаточний вигляд всіх поєднаних площин проекцій дано малюнку. У цьому кресленні осі ОX і ОZ, що у не рухомий площині V, зображені лише один раз, а ось ОY показано двічі. Пояснюється це тим, що обертаючись з площиною H, вісь ОY на епюрі поєднується з віссю ОZ, а обертаючись разом з площиною W, ця ж вісь поєднується з віссю ОX. Надалі при позначенні осей на епюрі негативні півосі (- ОX, - ОY, - ОZ) не вказуватимуться.
ТРИ КООРДИНАТИ І ТРИ ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ І ЇЇ РАДІУСА-ВЕКТОРА.
Координатами називають числа, які ставлять у відповідність точці визначення її положення у просторі чи поверхні. У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогою прямокутних декартових координат х, у іz. Координату х називають абсцисою, у - ординатою та z - аплікатою. Абсцис х визначає відстань від даної точки до площини W, ордината у - до площини V і аплікату z - до площини H. Прийнявши для відліку координат точки систему, показану на малюнку, складемо таблицю знаків координат у всіх восьми октантах. Яка-небудь точка простору А, задана координатами, позначатиметься так: A (х, у, z). Якщо х = 5, y = 4 і z = 6, то запис набуде наступного вигляду А (5, 4, 6). Ця точка А, всі координати якої позитивні, перебуває у першому октанті Координати точки А є водночас і координатами її радіуса-вектора ОА стосовно початку координат. Якщо i, j, k - одиничні вектори, спрямовані відповідно вздовж координатних осей х, у, z (рисунок), то ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,де ОАХ, ОАУ, ОАг - координати вектора ОА
Побудова зображення самої точки та її проекцій на просторовій моделі (малюнок) рекомендується здійснювати за допомогою координатного прямокутного паралелепіпеда. Насамперед на осях координат від точки О відкладають відрізки, відповідно рівні 5, 4 і 6 одиницям довжини. На цих відрізках (Оax, Оay, Оaz), як на ребрах, будують прямокутний паралелепіпед. Вершина його, протилежна початку координат, і визначатиме задану точку А. Легко помітити, що для визначення точки А достатньо побудувати тільки три ребра паралелепіпеда, наприклад Оax , axa1 і a1А або Оay , aya1 і a1A і т. д. Ці ребра утворюють координатну ламану лінію, довжина кожної ланки якої визначається відповідною координатою точки.
Однак побудова паралелепіпеда дозволяє визначити не тільки точку А, а й усі три її ортогональні проекції. Променями, проецирующими точку на площині H, V, W є три ребрапаралелепіпеда, які перетинаються в точці А. Кожна з ортогональних проекцій точки А, будучи розташованою на площині, визначається лише двома координатами. Так, горизонтальна проекція a1 визначається координатами х і у, фронтальна проекція a2 - координатами х та z, профільна проекція a3 - координатами у та z. Але дві будь-які проекції визначаються трьома координатами. Ось чому завдання точки двома проекціями рівносильне завдання точки трьома координатами. На епюрі (малюнок), де всі площини проекцій поєднані, проекції a1 і a2 виявляться на одному перпендикулярі до осі ОX, а проекції a2 і a3 - на одному перпендикулярі до осі OZ.
Що стосується проекцій a1 і a3 , то вони пов'язані прямими a1ay і a3ay , перпендикулярними осі ОY. Але оскільки ця вісь на епюрі займає два положення, то відрізок a1ay не може бути продовженням відрізка a3ay. Побудова проекцій точки А (5, 4, 6) на епюрі за заданими координатами виконують у такій послідовності: насамперед на осі абсцис від початку координат відкладають відрізок Оax = х (у нашому випадку х = 5), потім через точку ax проводять перпендикуляр до осі ОX, на якому з урахуванням знаків відкладаємо відрізки axa1 = у (отримуємо a1) і axa2 = z (отримуємо a2). Залишається побудувати профільну проекцію точки a3. Так як профільна та фронтальна проекції точки повинні бути розташовані на одному перпендикулярі до осі OZ, то через a3 проводять пряму a2az (OZ. Нарешті, виникає останнє питання: на якій відстані від осі ОZ має знаходитися a3? Розглядаючи координатний паралелепіпед (див. малюнок), ребра якого aza3 = Oay = axa1 = y укладаємо, що відстань aza3, що шукається, дорівнює у. Відрізок aza3 відкладають вправо від осі ОZ, якщо у & gt; на епюрі, коли точкапочне змінювати своє становище у просторі. Нехай, наприклад, точка А (5, 4, 6) переміщатиметься по прямій, перпендикулярній площині V. При такому русі змінюватиметься лише одна координата у, що показує відстань від точки до площини V. Постійними залишатимуться координати х і z , А проекція точки, яка визначається цими координатами, тобто a2 не змінить свого положення. Щодо проекцій a1 і a3, то перша почне наближатися до осі ОX, друга - до осі ОZ. На малюнках нове положення точки відповідають позначення a1 (a11 a21 a31 ). У той момент, коли точка опиниться на площині V (y = 0), дві з трьох проекцій (a12 і a32) лежатимуть на осях. Перемістившись з I октанта в II, точка почне віддалятися від площини V, координата у буде негативною, її абсолютна величина зростатиме. Горизонтальна проекція цієї точки, будучи розташованою на задній напівплощині H, на епюрі виявиться вище за осі ОX, а профільна проекція, перебуваючи на задній напівплощині W, на епюрі буде зліва від осі ОZ. Як завжди, відрізок az a33 = у. На наступних епюрах ми не позначатимемо літерами точки перетину координатних осей з лініями проекційного зв'язку. Це певною мірою спростить креслення. Надалі зустрінуться епюри і без координатних осей. Так чинять на практиці при зображенні предметів, коли суттєво тільки саме зображення предмета, а не його положення щодо площин проекцій.
Площини проекцій у разі визначені з точністю лише до паралельного перенесення (малюнок). Їх зазвичай переміщають паралельно самим собі з таким розрахунком, щоб усі точки предмета виявилися над площиною H і перед площиною V. Оскільки положення осі X12 виявляється невизначеним, то утворення епюра в цьому випадку не потрібно пов'язувати зобертанням площин навколо координатної осі. При переході до епюру площини H і V поєднують так, щоб різноіменні проекції точок були розташовані на вертикальних прямих.
Безвісний епюр точок А і В (рисунок) не визначає їх положення в просторі, але дозволяє судити про їх відносне орієнтування. Так, відрізок ?x характеризує зміщення точки А по відношенню до точки В у напрямку, паралельному площинам H і V. Іншими словами, ?x вказує, наскільки точка А розташована лівіше точки В. Відносне зміщення точки в напрямку, перпендикулярному площині V, визначається відрізком ?y, тобто точка А в нашому прикладі ближче до спостерігача, ніж точка, на відстань, рівну ?y. Нарешті, відрізок ?z показує перевищення точки А над точкою У.
Прихильники безвісного вивчення курсу нарисної геометрії справедливо вказують, що при вирішенні багатьох завдань можна обходитися без осей координат. Однак повну відмову від них не можна визнати за доцільне. Нарисна геометрія покликана підготувати майбутнього інженера як грамотного виконання креслень, до рішення різних технічних завдань, серед яких останнє місце займають завдання просторової статики і механіки. А для цього необхідно виховувати вміння орієнтувати той чи інший предмет щодо декартових осей координат. Зазначені навички будуть необхідні і при вивченні таких розділів накреслювальної геометрії, як перспектива та аксонометрія. Тому на низці епюрів цієї книги ми зберігаємо зображення координатних осей. Такі креслення визначають як форму предмета, а й його розташування щодо площин проекцій.