Пропорція, Алгебраїчна Пропорція
359. Для точного та близького ознайомлення з вченням про співвідношення необхідно добре розуміти принципипропорції, одного з найважливіших відгалужень у математиці. У співвідношеннях ми порівнюємо двівеличини, щоб знайти їх різницю чи приватне одного при розподілі на інше. А в пропорції йде порівняння двох співвідношень . І це порівняння обмежене знаходженням того, чи рівні вони. Ми не запитуємо наскільки одне співвідношеннябільшеабоменшеіншого, але чи є вониоднаковими. Тому числа 12, 6, 8, 4 називають пропорційними, так як співвідношення 12:6 дорівнює співвідношенню 8:4.
360. Тодіпропорція-це рівність співвідношень. Вона є абоарифметичної, абогеометричної. Арифметична пропорція є рівністю арифметичних співвідношень, а геометрична пропорція – це рівність геометричних співвідношень. Таким чином, числа 6, 4, 10, 8 складаютьарифметичнупропорцію, тому щорізницяміж 6 і 4 така ж як і різниця між 10 і 8. А числа 6, 2, 12 , 4 знаходяться угеометричнійпропорції, так якприватнепри розподілі 6 на 2, таке ж як і приватне при розподілі 12 на 4.
361. Треба бути уважним і не змішувати поняттяпропорціятаспіввідношення. Ця обережність ще більше потрібна, тому що в загальних міркуваннях ці два терміни використовуються нерозбірливо, або, мабуть, пропорція використовується замість обох понять. Кажуть, що витрати однієї людини становлять більшу пропорцію її прибутку, ніж іншу. Але, згідно з щойно даним визначенням, одна пропорція не може бути ні більшою, ні меншою ніж інша. Тому щорівністьне визнає ступенів. Однеспіввідношенняможе бути більше або меншеіншого. Співвідношення 12:2 більше, ніж співвідношення 6:2 і менше, ніж співвідношення 20:2. Але ця різниця не застосовна допропорції, коли цей термін застосовується у своєму формальному значенні. Часто використовуване вільне трактування цього слова може досить підходити длянеформального мовленняі схвалено для загального вживання. Але для наукових цілей різниця між пропрцією і співвідношенням повинна бути чітко позначена і акуратно дотримуватися.
362. Рівність двох співвідношень, як було визначено, називається пропорцією. Це слово іноді відноситься до ряду термінів, серед яких і рівність співвідношень. Таким чином дві пари 15:5 та 6:2, взяті разом, називаються пропорцією.
363. Пропорція зображується звичайним знаком рівності. Таким чином 8 • 6 = 4 2, a • b = c • d є арифметичними пропорціями.
І 12 : 6 = 8 : 4, a : b = d : h є геометричними пропорціями. Остання читають як, 'a відноситься до b, так само як d відноситься до h', або стисло, 'a відноситься до b, як d до h'.
364. Перший і останній члени називаютьсякрайніми, а два інші -середніми.Гомологічнимичленами є або два антецеденти (попередні члени співвідношення) або два консеквенти (наступні члени співвідношення).Аналогічнічлени це антецеденти та консеквенти однієї пари.
365. Оскільки співвідношення рівні, зрозуміло будь-яка з двох пар стоїть першою.
Якщо a: b = c: d, тоді c: d = a: b. Так якщо $\frac=\frac $ тоді $\frac =\frac$.
366. Кількість членів повинна бути щонайменше чотирьом. Так як рівність співвідношень існує між двома парами, то у кожної пари повинен бути антецедент і консеквент. Однак, може існувати пропорція тасеред трьохвеличин. Так одна величина можеповторяться, з метою формування двох членів. У разі, якщо величина повторюється, вона називаєтьсясереднім членом, абосереднім пропорційнимдвох інших величин, особливо якщо пропорція є геометричною.
Таким чином, числа 8, 4, 2 пропорційні. Тобто 8:4 = 4:2. Тут число 4 є і консеквентом у першій парі та антецедентом у другій. Таким чином воно є середнім пропорційним між 8 та 2.
Останнійчлен називаютьтретім пропорційнимдо двох інших величин. Таким чином, 2 це третє пропорційне до 8 і 4.
367.Зворотнапропорція це рівність міжпрямимізворотнимспіввідношенням.
Таким чином, 4:2 = ⅓:⅙; тобто, 4 відноситься до 2,назадтому як 3 до 6. Іноді також порядок членів в одній з пар інвертується, без їх запису у формі дробу. 4:2 = 3:6 обернено пропорційні. В даному випадку,першийчлен відноситься додругого, якчетвертийдотретього, тобто, перший розділений на другий дорівнює четвертому розділеному на третій.
368. Коли в послідовності величин, таких як співвідношення першого до другого, другого до третього, третього до четвертого і так далі всі рівні між собою , то кажуть, що величини становлятьбезперервну пропорцію. Наступний член кожного попереднього співвідношення є антецедитом наступного співвідношення. Безперервна пропорція також називаєтьсяпрогресією, що буде видно з наступної частини. Таким чином, числа 10, 8, 6, 4, 2 складають безперервнуарифметичнупропорцію. Так 10 - 8 = 8 - 6 = 6 - 4 = 4 - 2. Числа 64, 32, 16, 8, 4 становлять безперервнугеометричнупропорцію. Адже 64:32 = 32:16 = 16:8 = 8:4. Якщо a, b, c, d, h, тощо знаходяться в безперервній геометричній пропорції, то a:b = b:c = c:d = d:h, і т.д. Один випадок безперервної пропорції цетрипропорційні величини. (Стаття. 366.)
369.Арифметичнапропорція є зазвичай нічим більшим, ніж просто рівняння і щойно необхідно приділяти цьому предмету додаткову увагу. Пропорція a..b = c..d Те ж саме, що і рівняння a - b = c - d.
Однак, буде правильним звернути увагу на те, що якщочотиривеличини знаходяться в арифметичній пропорції, тосума їх крайніх членів дорівнює сумі середніх членів. Таким чином, якщо a..b = h..m, тоді a + m = b + h Тоді згідно з гіпотезою, a - b = h - m І перенісши -b і -m, a + m = b + h Тому для пропорції 12..10 = 11..9, отримуємо 12 + 9 = 10 + 11.
Знову ж таки, якщотривеличини знаходяться в арифметичній пропорції, тосума крайніх членів дорівнює подвоєному середньому. Якщо a..b = b..c, тоді a - b = b - c І перенісши -b і -c, a + c = 2b.