Простий приклад розподілу ризику Кілька років тому я займався експериментальними
При першій зустрічі з групою я сказав їм, що через кілька днів я, можливо, випадково виберу одного з них і запропоную йому можливість прийняти або відкинути лотерею, що дає рівні шанси на виграш х доларів і на програш, тобто лотерею
Так, наприклад, якби х дорівнював би 100, а у — одному долару, ця перспектива була б дуже привабливою, тоді якби х дорівнював 50, а у — 60 доларам, то справа була б набагато гірша. Я повідомив групі, що х і у будуть лежати десь між нулем і 1000. Завдання, яке я запропонував кожному студенту, полягало в тому, щоб обміркувати цю проблему, пам'ятаючи про власні фінансові справи, і приготувати набір інструкцій , за якими агенту, що діє від його імені,
Риб. 8.1. Лотерея З платежами х доларів або у доларів з рівними шансами прийнятна, якщо точка (х,у) лежить нижче кривої g. Вона неприйнятна, якщо (х,у) вище за g. на безлічі прийнятних та неприйнятних пропозицій. На рис. 8.1 показана типова крива, що розбиває безліч точок (х, у) на дві такі множини. Лотерея, подібна до наступної: alt="" />
буде відкинута, оскільки точка (750; 450) лежить вище за криву g і, таким чином, у безлічі неприйнятних пропозицій /?, тоді як лотерея SOOfltiihM
буде прийнята, оскільки точка (500; 100) лежить нижче кривої g уї, таким чином, у безлічі прийнятних пропозицій А. Значення g(x) є максимум того, що окремий студент погодився б втратити, отримавши рівні шанси виграти х доларів. Ну, що ж, ця лотерея так ніколи і не відбулася, але я зібрав у моїх студентів графіки, і, як неважко було передбачати, вони виявилися надзвичайно різноманітними. Значення g для x == 1000, наприклад,варіювалися від 25 до 800 доларів. Відступ. Суб'єктивну криву g можна легко визначити із кривої корисності для грошей. Якщо покласти і(0) = 0, то лотерея (%, у) прийнятна тоді і тільки тоді, коли і + yin?) gt; та (0) = 0, або і(х)gt; — ц(— у)й Звідси і(х) = — u[—g(x) ] і крива g просто встановлює відношення між функцією і для позитивних чисел і функцією і для негативних. Безліч колективно прийнятних і колективно неприйнятних альтернатив. Пізніше я запитав частину студентів, чи прийняли б вони колись усім колективом пропозицію (х, у), яка не є індивідуально прийнятною для жодного з них. Це питання привело їх до завдання визначення множини колективно прийнятних альтернатив як функції від їх множин індивідуально прийнятних речень. На ній я зараз і хотів би зупинитися. Розглянемо групу з двох осіб, нехитро званих надалі «учасник I» і «учасник II», криві g яких та їх множини прийнятних та неприйнятних альтернатив позначаються через gx і g2 Аг і А2; Rx та R2 відповідно. Тепер припустимо, що gt та g2 такі, як на рис. 8.2 і цих двох людей запитують, чи прийнятна для них колективно лотерея, що дає 1000 доларів з ймовірністю 0,5 і -500 доларів з ймовірністю 0,5. Ця лотерея, яку ми позначимо через (1000; 500), є неприйнятною для жодного з них.
Припустимо, однак, що їм дозволяється брати участь у цій лотереї спільно, тобто щоб учасник I взяв на себе частку рх як потенційного виграшу, так і потенційного програшу, а учасник II -частку р2, де Рг + Рг = 1 * Наприклад, якщо рх = 3/4, а р2 = 1/4, то I і II як би беруть участь відповідно у лотереях. (750; 375) та (250; 125). Зауважимо, що це прийнятно для учасника II, але неприйнятно дляучасника I. Пунктирна
дають у відповідні множини прийнятних альтернатив для обох учасників і, будучи такими, надають перевагу стану status quo. І, очевидно, альтернатива, яка відкидає участь у цій лотереї, не може бути прийнята, оскільки ми змогли сформулювати правило розподілу, прийнятне для кожного з учасників. Я зовсім не збираюся стверджувати, що це* тільки “що згадане конкретне правило розподілу є “найкращим”, це вже зовсім інше питання, до якого ми ще повернемося. У наступному параграфі ми розглянемо загальніший варіант цього завдання з розподілом. Обговорювану вище лотерею зручно подати у вигляді табл. 8.2. У лівій її частині ми описуємо саму лотерею, що розглядається, а праворуч — розбиття, про яке щойно говорили, прийнятне для обох учасників. На запропоноване розбиття можна подивитися і з іншого боку. Припустимо що учасник II дає від початку учаснику I 50 доларів, та був I і II ділять лотерею у пропорціях 0,45 і 0,55 відповідно.