Пружно-пластичний вигин балок
У поперечних перерізах балки при згинанні нормальні напруги в пружному стані матеріалу розподіляються нерівномірно, лінійно змінюючись по висоті балки (рис. а).
Розрахунки при згинанні
Найбільші нормальні напруги в найбільш віддалених від нейтральної лінії точках поперечного перерізу визначаються за формулою
.
При розрахунку на міцність за допустимою напругою запас міцності визначається як відношення межі плинності матеріалу до найбільшої напруги. Саме за цим небезпечний приймається стан балки, що відповідає досягненню найбільшими нормальними напругами в небезпечних перерізах межі плинності. Такий стан лише умовно вважатимуться небезпечним. Балка ще зберігає здатність сприймати згинальний момент, збільшується.
Визначимо величину граничного згинального моменту у разі чистого згинання. Розглянемо спочатку балку, поперечні перерізи якої мають дві осі симетрії. Межі плинності при розтягуванні та стисканні вважатимемо однаковими.
Після появи плинності в найбільш віддалених від нейтральної осі точках перерізу при подальшому збільшенні згинального моменту пластичний стан матеріалу поширюється у напрямку до нейтральної осі. До повного вичерпання несучої здатності балки в її поперечних перерізах будуть дві зони - пластична та пружна (рис. б). Граничний стан настане, коли плинність пошириться по всьому поперечному перерізі, так як після цього подальша деформація балки відбувається без збільшення згинального моменту. Епюра нормальних напруг у поперечному перерізі для граничного стану зображено на рис. в. У поперечному перерізі, що розглядається, утворюється так званий пластичний шарнір , що передає постійний момент, рівний граничномузгинального моменту.
Граничний момент можна обчислити як суму моментів щодо нейтральної осі сил у поперечному перерізі (рис. в):
де – статичний момент площі половини поперечного перерізу щодо нейтральної осі.
Величину прийнято називати пластичним моментом опору та позначають. Тоді
Для прямокутного поперечного перерізу, що має ширину та висоту
Небезпечна величина згинального моменту при розрахунку за допустимою напругою
характеризує ступінь збільшення запасу міцності балки під час переходу до розрахунку за граничним станом. У разі балки прямокутного перерізу
Для двотаврових прокатних балок у середньому. Якщо переріз балки має лише одну вісь симетрії у площині навантаження (рис. 13.12), то в граничному стані нейтральна вісь пройде через центр тяжіння поперечного перерізу.
Перетин з однією віссю симетрії
Положення нейтральної осі визначається з рівності нулю суми проекцій на вісь балки всіх сил, розподілених за її перерізом:
де - Площа розтягнутої зони перерізу;
- Площа стиснутої зони.
Звідси отримуємо, тобто в граничному стані нейтральна вісь перерізу має ділити його площу навпіл.
Граничний згинальний момент
де - Статичний момент розтягнутої зони перерізу щодо нейтральної осі;
- Абсолютна величина статичного моменту стиснутої зони перерізу щодо тієї ж осі.
У цьому випадку пластичний момент опору
Наведені міркування щодо визначення граничного стану, еквівалентного утворення пластичного шарніра в поперечному перерізі балки, строго кажучи, справедливі тільки для чистого згинання, коли немає дотичних напруг. Визначення граничногостани з урахуванням поперечної сили складніше. Це питання тут не з'ясовується.
Розглянемо приклад розрахунку балки на вигин допускаються за розжаренням, і за граничним станом без урахування впливу поперечної сили.
Балка прямокутного поперечного перерізу, затиснута по кінцях, несе рівномірно розподілений за довжиною навантаження інтенсивності (рис. 16.3 а). Визначити найбільшу інтенсивність цього навантаження, допустиму відповідно до розрахунку за допустимою напругою, та за граничним станом при тому ж запасі міцності .
Розрахунок без урахування впливу поперечної сили
Розрахунок за допустимою напругою. Балка статично невизначена. Її розрахунок значно спрощується завдяки симетрії. Знаходимо зайві невідомі і будуємо епюру згинальних моментів (рис. 16.3, а). Найбільше значення згинального моменту має у затиснених опорних перерізах:
При збільшенні навантаження максимальна напруга в цих перерізах в першу чергу досягнуть межі плинності. Приймаючи запас міцності за межею плинності рівним, знайдемо найбільшу допустиму інтенсивність навантаження з умови міцності:
Враховуючи, що , a отримуємо
Розрахунок за граничним станом. Після появи пластичних деформацій в найбільш віддалених від нейтральної осі точках опорних перерізів подальше зростання навантаження призведе до утворення в цих перерізах пластичних шарнірів, а момент, що згинає, при цьому досягне граничного значення . Тепер уже балка працює як шарнірно оперта, до якої на опорах прикладені постійні моменти (рис. 16.3, б)
При подальшому зростанні навантаження ці моменти зберігають своє значення і завдання стає статично визначеним. У прогонових перерізах величини згинальних моментів зростатимуть, поки посередині прольоту момент не стане рівнимТієї ж величині, тобто поки не утворюється пластичний шарнір. При цьому три пластичні шарніри розташуються на одній прямій, тому подальше зростання навантаження неможливе. Несуча здатність балки вичерпається.
Умова рівності згинальних моментів в опорних перерізах та посередині прольоту має вигляд
звідки знаходимо, що
Складаючи праві частини формул (19.51) та (19.53), знайдемо:
Приймаючи запас міцності, рівним отримаємо найбільшу допустиму інтенсивність навантаження:
Відношення найбільших допустимих навантажень при розрахунках за граничним станом та за допустимою напругою
.
Розрахунок за граничним станом часто дозволяє розкрити додаткові резерви міцності. Як зазначалося вище, він набув широкого поширення при розрахунку будівельних конструкцій
Розрахунок за граничним станом із певним запасом міцності не гарантує від появи місцевих пластичних деформацій. Останнє ще допустимо при постійних навантаженнях, які мають місце переважно у будівельних конструкціях. При змінних навантаженнях, у яких найчастіше доводиться розраховувати машинобудівні конструкції, поява пластичних деформацій у часто неприпустимо. Тому в таких випадках варто вести розрахунок за допустимою напругою.