Псевдоповнення
Псевдодоповненняв теорії ґрат — бінарна операція в ґратах, що визначається для елементів ґрат a і b як найбільший елемент c такий, що a ∧ c ⩽ b ; позначення – a → b, прочитання – «псевдодоповнення a щодо b».Імплікативні грати(абобрауерові грати) — грати, в яких для кожних двох елементів існує псевдодоповнення.
Аксіоматично, імплікативні грати виходять приєднанням до аксіом решітки наступних співвідношень:
- ∀ a , b : a ∧ ( a → b ) ⩽ b ,
- ∀ a , b , c : a ∧ c ⩽ b ⇒ c ⩽ ( a → b ) .
Для імплікативних ґрат з нулем вводиться також унарна операція (абсолютного) псевдодоповнення: a = a → 0 a=a\to 0> ; у цьому випадку, бінарне псевдодоповнення називаєтьсявідносним псевдодоповненням.
Імплікативні грати утворюють різноманітність. Найважливіші спеціальні класи імплікативних ґрат — алгебри Гейтинга [en] та булеві алгебри, що використовуються як моделі інтуїціоністського та класичного обчислення висловлювань відповідно.
Будь-які імплікативні грати дистрибутивні; кожна кінцева дистрибутивна решітка - імплікативна.
Ці твердження використовуються за доказом того, що алгебри Гейтинга є моделями інтуїціоністського обчислення висловлювань.