Радіуси поперечних перерізів у процесі кручення не викривляються та зберігають свою довжину.

Через війну взаємного повороту поперечних перерізів відбувається перекіс прямих кутів елемента, тобто. виникають кутові деформаціїγ. При цьому, величина γ змінюється в залежності від змінного радіусуrза лінійним законом і має найбільше значенняγнбу точках бічної поверхні.

. (5.10)

Деформації зсуву виникають від дотичних напругτ, що діють згідно із законом парності в поперечних та поздовжніх перерізах стрижня.

Розглянемо напружений стан стрижня. Відповідно до закону Гука при зрушенні з урахуванням формули (5.10) отримаємо

. (5.11)

Дотичні напруги, що діють у поперечних перерізах стрижня, призводять до крутного моментуМк.

,

єполярний момент інерції перерізу.Для суцільного круглого перерізу він дорівнює

. (5.12)

З урахуванням цього висловимо відносний кут закручування через крутний момент

. (5.13)

ВеличинаGJp, що входить до цієї формули, називаєтьсяжорсткістю круглого стрижня при крученні.

Підставляючи знайдену величинуφ' у рівність (5.11), отримаємо формулу для визначення дотичних напруг у поперечних перерізах круглого стрижня при крученні

. (5.14)

З цієї формули видно, що дотичні напруги у поперечному перерізі змінюються у радіальному напрямку за лінійним законом (рис. 5.12). Найбільше значення вони набирають на контурі перерізу приr = R

. (5.15)

деWp - полярний момент опору, рівний

. (5.16)

Мал. 5.12 Мал. 5.13 Мал. 5.14

Формули (5.13) - (5.15) справедливі також для трубчастого стрижня (рис. 5.14). При цьому полярний момент інерції та полярний моментопори рівні

. (5.17)

Визначення кутів закручування стрижнів круглого перерізу. Інтегруючи рівність (5.13) по довжині стрижня в межах від 0 дох, отримаємо вираз для кута закручування

. (5.18)

деφ0 - кут закручування початкового перерізу. Якщо початковий переріз закріплено, тоφ0 = 0. У окремому випадку, колиМк=const,GJp=constі лівий кінець закріплений (рис. 5.17), отримаємо

.

ЕпюриМкіφдля цього випадку наведено на рис. 5.15.

При навантаженні стрижня рівномірно розподіленим скручуючим моментомт(рис. 6.10) крутний момент у довільному перерізіхдорівнюєМк=ml-тх, деМ0=ml - реактивний момент у закладенні.

Для визначення кутів закручування підставимо цей вираз у формулу (5.18), приймаючиφ0 = 0. Після інтегрування отримаємо

.

ЕпюриМкіφнаведені на рис. 5.16. Кут закручування змінюється згідно із законом квадратної параболи.

Розрахунок стрижнів круглого перерізу на міцність і жорсткість. Кручення як основний вид деформації характерне для елементів машинобудівних конструкцій.

Умова міцності при крученні стрижнів круглого перерізу має вигляд

, (5.19)

де - найбільший крутний момент у стрижні від дії нормативних навантажень;Wp- полярний момент опору; [τ] — допустима дотична напруга.

З умови міцності (5.19) отримаємо формулу для підбору перерізу

.

Звідси знаходимо необхідні розміри перерізу стрижня. Для стрижня суцільного круглого перерізу з урахуванням (5.16) маємо

. (5.20)

Для трубчастого стрижня з урахуванням(5.17)

Стрижні, що працюють на кручення, повинні мати достатню жорсткість.Умова жорсткості при крученні має вигляд

, (5.22)

де [φ'] - відносний кут закручування, що допускається, зазвичай приймається в межах 0,15 ÷ 2град/м.

З умови жорсткості (5.22) маємо

.

Звідси знаходимо необхідні розміри поперечного перерізу стрижня. Для стрижня суцільного круглого перерізу з урахуванням (5.12) маємо

. (5.23)

Для трубчастого стрижня з урахуванням (5.17) отримаємо

. (5.24)

При розрахунку стрижня на міцність і жорсткість із двох необхідних значень діаметра треба прийняти більше.

Допустима напруга при крученні:

для крихких матеріалів

для пластичних матеріалів

.

3.ПОБУДУВАННЯ ЕПЮР КРУТНИХ МОМЕНТІВ

Приклад 1. Побудувати епюру крутних моментів для валу.

1. Зображуємо розрахункову схему (рис. 5.17,а). Реакцію в закладенні визначати не обов'язково, оскільки відповідно до методу перерізів можна відкидати щоразу праву частину валу з закладенням. Вал має чотири силові ділянки:

I ділянка :

IIділянка :

III ділянка :

IVділянка :

2. Будуємо епюру моментів, що крутять (рис. 5.17,б).

Виконуємо перевірку правильності епюри. Місце розташування стрибків, їх напрямок та величина відповідають зовнішнім прикладеним крутним моментам.

---