Рамануджан та число p
Близько 75 років тому геніальний індійський математик вигадав неймовірно ефективні способи обчислення числаp.Створені зараз на тій самій основі алгоритми для комп'ютерів дозволяють знайти мільйони десяткових знаків числаp
ДЖОНАТАН М. БОРВЕЙН, ПІТЕР Б. БОРВЕЙН
Число p відношення довжини кола до її діаметра в 1987 р. було обчислено з безпрецедентною точністю: більше ста мільйонів десяткових знаків. Цей рік ознаменувався також століттям від дня народження Срініваси Рамануджана - геніального індійського математика, який більшу частину свого недовгого і загадкового життя був відірваний від решти математичного світу. Ці дві події тісно пов'язані між собою, бо найнедавніші методи обчислення p передбачено Рамануджаном, хоча для їх реалізації довелося почекати, поки будуть розроблені (багатьма фахівцями, у тому числі нами) ефективні алгоритми, новітні суперкомп'ютери та нетрадиційні методи множення чисел.
Тяга до обчислення p з мільйонами десяткових знаків може здатися досить безглуздою, а саме це заняття є лише ареною для встановлення рекордів. Дійсно, вже 39 знаків p достатньо для обчислення кола, що оперізує Всесвіт, що спостерігається, з похибкою, що не перевищує радіуса атома водню. Важко уявити фізичні ситуації, які вимагали б більшої точності. Чому ж математики та обчислювачі не задовольняться, скажімо, 50 знаками p?
Тому є кілька причин. По-перше, обчислення p стало чимось на зразок зразка: у ньому оцінюється досконалість і надійність застосовуваного комп'ютера. До того ж гонитва за все більш точним значенням p дозволяє математикам проникнути в таємничі та малодоступні закутки теорії чисел. Інша, простіша причина «тому що воно завжди з нами».І справді, p є невід'ємною частиною математичної культури ось уже понад два з половиною тисячоліття.
Крім того, завжди є шанс, що такі обчислення проллють світло на деякі загадки, пов'язані з p. Адже ця універсальна постійна, незважаючи на порівняно просту природу, не так добре зрозуміла. Наприклад, хоча і доведено, що трансцендентне ірраціональне число, нікому ще не вдалося довести, що десяткові знаки розподілені випадково, тобто. кожна цифра від 0 до 9 з'являється однаковою частотою. Можливо, хоча й дуже малоймовірно, що, починаючи з якогось місця, всі інші знаки p складаються тільки з 0 і 1 або виявляють якусь іншу закономірність. Більше того, число p раптово з'являється в найнесподіваніших завданнях, що не мають жодного відношення до кіл. Так, припустимо, що з багатьох цілих чисел навмання вибирається якесь число. Тоді ймовірність того, що воно не має повторюваних (кратних) простих дільників, дорівнює 6/p 2 . Як і багато інших видатних математиків, Рамануджан був полонений чарівною силою цього числа.
Побудовані недавно алгоритми для обчислення p надали новий блиск математичним скарбам, витягнутим завдяки відродженню інтересу до робіт Рамануджана. Однак більшість того, що він зробив, все ще недоступна дослідникам. Основні його роботи містяться в «Зошитах», де він вів особисті записи, користуючись власною термінологією та позначеннями. Ще прикро для математиків, які вивчили «Зошити» Рамануджана, те, що він зазвичай не записував доказів своїх теорем. Розшифрування та редагування «Зошит», зроблені Брюсом К. Берндтом з Іллінойського університету в Ербана-Шампейн, тільки зараз наближаються до завершення.
Наскільки нам відомо, ніхто й ніколище не брався за роботу з математичного редагування такого обсягу та такої проблеми. Але зусилля, напевно, будуть винагороджені. Спадщина Рамануджана, що міститься в «Зошитах», обіцяє не лише збагатити чисту математику, а й знайти застосування у різних галузях математичної фізики. Наприклад, Родні Дж. Бакстер з Австралійського національного університету визнає, що відкриття Рамануджана допомогли йому вирішити деякі завдання статистичної фізики, що стосуються поведінки системи взаємодіючих частинок, що розглядаються як тверді кульки в гексагональній решітці на кшталт медових стільників. А Карлос Дж. Морено з Університету м. Нью-Йорка та Фрімен Дж. Дайсон з Інституту вищих досліджень зазначили, що фізики починають застосовувати результати Рамануджана в теорії суперструн.
У 12 років Рамануджан вивчив велику працю С. Л. Лоуні «Плоска тригонометрія», включаючи розглянуті там суми та твори нескінченних послідовностей, яким судилося зайняти важливе місце в його подальших роботах. Через три роки Рамануджан дістав книгу «Збірник елементарних результатів чистої математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), що містить понад 6000 теорем (здебільшого без доказів) та складений викладачем Кембриджського університету Дж. Ш. Карром. Дві ці книги стали основою математичної підготовки Рамануджана.
У 1903 р. Рамануджан був прийнятий у місцевий коледж (що входив до складу Мадраського університету.Перев.). Однак поглинений своїми математичними дослідженнями на шкоду всьому іншому, він провалився на іспитах; те саме повторилося через чотири роки в іншому коледжі в Мадрасі. Після одруження в 1909 р. Рамануджан на якийсь час залишив своє захоплення і спробував знайти роботу. На щастя, в 1910 р.Рекомендації багатьох співчуваючих Рамануджану індійських математиків на нього звернув увагу багатий любитель і покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Під враженням відкриттів, законспектованих Рамануджаном у його «Зошитах», Рамачандра Рао надав йому щомісячну допомогу.
У 1912 р., бажаючи все-таки мати роботу, Рамануджан влаштувався бухгалтером у Трест Мадраського порту, який очолював англійський інженер Френсіс Спрінг. Разом із засновником Індійського математичного товариства В. Рамасвамі Айяром вони вмовили Рамануджана повідомити свої результати трьом відомим англійським математикам. Двоє з них, мабуть, не обізвалися. Третім був Г. Х. Харді з Кембриджського університету, визнаний тепер найвидатнішим англійським математиком на той час.
Результати Рамануджана, що стосуються числа p, пов'язані здебільшого з його дослідженнями модулярних рівнянь теми, найбільш докладно розкритої в «Зошитах». Грубо кажучи, модулярне рівняння це алгебраїчне співвідношення між функцією від деякої змінноїx, тобто.f(x), і тією ж функцією від змінноїx, зведеної в деякий цілий ступінь, наприкладf(x2),f(x3) абоf(x4). Цей цілий ступінь задає «порядок» модулярного рівняння. Найпростішим модулярним рівнянням є рівняння 2-го порядку
Звичайно, не всяка функція задовольняє якесь модулярне рівняння. Але існує клас функцій, які мають цю властивість. Вони називаються модулярними функціями. Крім того, модулярне рівняння виконується лише за певних значеньx, а саме тих, які є «рішеннями» даного рівняння.
Своїми спробами обчислювати Рамануджан віддав данину давньої традиції. Вже в ранніхіндоєвропейських цивілізаціях було відомо, що площа кола пропорційна квадрату його радіусу, а довжина кола пропорційна її діаметру. Правда, не зовсім ясно, коли вперше було усвідомлено, що відношення довжини будь-якого кола до її діаметра і відношення площі будь-якого кола до квадрата його радіусу дорівнюють одній і тій самій постійній, яку прийнято позначати символом p . (Сам цей символ було введено набагато пізніше в 1706 р. англійським математиком-любителем Вільямом Джонсоном і став широко вживатися завдяки підтримці найбільшого математика XVIII ст. Леонарда Ейлера.)
У найрізноманітніший математик давнини Архімед із Сіракуз суворо довів рівність двох зазначених відносин у своєму трактаті «Вимір кола». Він обчислив і наближене значення p , причому основі математичних принципів, а чи не прямих вимірів довжини кола, площі кола і діаметра. Архімед вписував в коло і описував у неї правильні багатокутники (тобто багатокутники зі сторонами однакової довжини). Діаметр кола приймався за одиницю, а периметри описаного та вписаного багатокутників розглядалися як наближення відповідно зверху та знизу до довжини кола, яке в даному випадку чисельно збігалося з p (див. вкладку [1]).
Цей метод наближення p не був нововведенням: ще раніше вписувати багатокутники зі зростаючим числом сторін запропонував Антифон, яке сучасник Брисон з Гераклеї додатково ввів описані багатокутники. Нововведенням був виконаний Архімедом правильний розрахунок результату подвоєння числа сторін як вписаного, і описаного багатокутників. Тим самим він розробив процедуру, повторення якої достатньо разів у принципі дозволяє обчислити p з будь-якою кількістю знаків. (Слід зазначити, що периметр правильногобагатокутника легко обчислюється з допомогою простих тригонометричних функцій: синуса, косинуса і тангенса, проте за часів Архімеда, тобто. у ІІІ ст. до н.е., ці функції ще не були повністю вивчені і обчислення периметрів було далеко не такою легкою справою, як зараз може здатися.
Архімед почав з вписаного та описаного шестикутників і отримав нерівність 3 10/71 1/7 і отримав наближене значення p» 3,14. Є деякі підстави припускати, що текст трактату «Вимірювання кола», що дійшов до нас, є частиною ширшої праці, в якій Архімед пояснює, як, почавши з десятикутників і застосувавши шість разів операцію подвоєння, він отримав наближення з п'ятьма знаками: p » 3, 1416. Сам собою метод Архімеда простий, але за відсутності готових таблиць тригонометричних функцій вимагає вилучення коренів; Виконання цієї операції вручну займає досить багато часу. Крім того, наближення сходяться до p дуже повільно: з кожною ітерацією похибка зменшується лише вчетверо. Проте до середини XVII ст. всі спроби європейських вчених обчислити p так чи інакше спиралися на цей метод. Голландський математик XVI ст. Лудольф ван Цейлен присвятив обчисленню більшу частину своєї наукової діяльності. До кінця життя він знайшов наближення з 32 десятковими знаками, обчисливши периметри вписаного та описаного багатокутників з 262 (тобто порядку 1018) сторонами. Кажуть, отримане ним значення p, яке в деяких європейських країнах називають на його честь числом Лудольфа, висічено на його надгробному камені.