Різнисні схеми - Стор 5
Рішення, отримане за допомогою схеми (11.52), показано на малюнку 11.13. Як показують ці результати, ця схема зберігає амплітуду, але спотворює форму хвилі. Понад те, з'являються високочастотні осциляції, які у точному рішенні.
Малюнок 11.13. Рішення рівняння (11.51) з граничними умовами (11.53) у момент часу t = 1 (l = 1, c = 1); - точне рішення, - наближене рішення (h = 0.05,
Зрозуміло, що в межах h , τ → 0 наближене рішення буде прагнути точного, але реально ми працюємо з кінцевими кроками по простору та часу. У цьому випадку аналіз апроксимації не дозволяє отримати більш повну інформацію про властивості різницевої схеми, таких як, наприклад, диссипація та дисперсія. Далі ми обговоримо метод аналізу цих важливих властивостей.
11.3.2. Дисипація та дисперсія сіткового хвильового рішення.
Перш ніж розглядати дисипацію та дисперсію різницевого рішення, ми повинні визначити ці властивості для диференціального хвильового рівняння. Для цього візьмемо рішення у вигляді
u ( x , t ) = u 0 exp ( i ( ω t - kx )),
де ω = 2 πν - кругова частота, k = 2 π / λ - хвильове число. Якщо ми підставимо це рішення в якесь лінійне хвильове рівняння, то отримаємо залежність ω = ω (k), яке називається дисперсійним співвідношенням. Якщо ω набуває речових значень, то амплітуди гармонік не змінюються з часом. В іншому випадку, коли ω приймає
комплексні значення, хвиля загасатиме (диссипировать) як exp(-(Im ω ) t )=exp(- γ t ). Ставлення
називається фазовою швидкістю, тобто швидкістю, з якою рухається фаза чи вузол окремої гармоніки. Величина
називається груповий швидкістю. Вона може інтерпретуватися як швидкістьхвильового пакета, що складається з гармонійних хвиль із близькими хвильовими числами. Передача енергії у хвилі здійснюється з груповою швидкістю. Якщо фазова (групова) швидкість залежить від k, то гармоніки з різними хвильовими числами поширюються з різними швидкостями. Це називається дисперсією. Для рівняння (11.51) неважко отримати, що ω = ck і, отже, f = c g = c . Це означає, що точне рішення рівняння (11.51) є хвилею, яка поширюється без згасання і дисперсії. Інший приклад: для лінеаризованого рівняння Бюргерса
залежність ω (k) має наступний вигляд
ω (k) = ck + i μ k 2 .
Це співвідношення описує загасаючу хвилю, що не диспергує. Зокрема, при μ =0 ми отримуємо рівняння перенесення (11.1), для якого справедливе співвідношення c f = c g = c і коефіцієнт загасання дорівнює нулю.
При чисельному розв'язанні хвильових завдань виникає згасання та дисперсія сіткового рішення, що пов'язано з формою різницевих рівнянь. Сильне згасання призводить до того, що через кілька кроків за часом хвиля просто зникає (приклад такого рішення показаний на малюнку 3.3). Дисперсія, хоч і не впливає на амплітуду хвилі, але спотворює її форму. Дисперсія також призводить до виникнення помилки при розрахунку відображення та інтерференції хвиль.
Аналіз дисипації та дисперсії сіткового рішення ми проводитимемо на рішенні u n k = u exp ( i ( ω t k − kx n ) ) .
Якщо підставити це рішення у різницеву схему, ми отримаємо деяке співвідношення виду ω = ω ( k , τ , h ). Порівнюючи це співвідношення з відповідним дисперсійним співвідношенням для диференціального рівняння, яке ця схема апроксимує, ми можемо аналізувати властивості цієї схеми. Як приклад розглянемо властивостісхеми "хрест". Підставимо наведене вище рішення до схеми (11.52) і отримаємо наступне
вираз exp( i ωτ )-2+exp(- i ωτ )= r 2 (exp(- ikh )-2+exp( ikh )) з якого випливає, що sin ( 1 2 ωτ ) = r sin ( 2 1 kh ).
В даному випадку ω приймає речові значення, і отже, хвильове сіткове рішення не згасає з часом. Виражаючи ω з попереднього виразу, ми приходимо до наступного дисперсійного співвідношення:
ω = τ 2 arcsin (r sin (2 1 kh)).
Тоді групова швидкість хвилі, що розповсюджується на сітці, визначається як