Розгортання коливань
Прикріпимо до нижньої частини грузика маятника м'який грифель і підвісимо маятник над аркушем паперу так, щоб грифель торкався паперу (рис. 43). Тепер трохи відхилимо маятник. Грифель, що гойдається, прокреслить на папері невеликий відрізок прямої лінії. У середині гойдання, коли маятник проходить положення рівноваги, олівцева лінія буде пожирніше, тому що в цьому положенні грифель сильніше натискає на папір. Якщо потягнути аркуш паперу у напрямку, перпендикулярному до площини коливання, то прокреслиться крива, зображена на рис. 43. Неважко збагнути, що хвилочки, що виходять, будуть розташовані густо, якщо папір тягнути повільно, і рідко, якщо лист паперу рухається зі значною швидкістю. Щоб крива вийшла акуратною, як на малюнку, потрібно, щоб аркуш паперу рухався рівномірно.
Цим способом ми хіба що «розгорнули» коливання.
Розгортання потрібно для того, щоб сказати, де знаходився і куди рухався вантаж маятника в той чи інший момент часу. Уявіть собі, що папір рухається зі швидкістю 1 см/с з моменту, коли маятник перебував у крайньому положенні, наприклад, ліворуч від середньої точки. На нашому графіку це початкове положення відповідає точці, позначеної цифрою 1. Через 1/4 періоду маятник проходитиме через середню точку. За цей час папір просунеться на число сантиметрів, що дорівнює (1/4)T – точка 2 на малюнку. Тепер маятник рухається праворуч, одночасно повзе і папір. Коли маятник прийде у праве крайнє положення, папір просунеться на число сантиметрів, що дорівнює (1/2)T, – точка 3 малюнку. Маятник знову йде до середньої точки і потрапляє через (3/4)T в положення рівноваги - точка 4 на кресленні. Точка 5 завершує повне коливання і далі явище повторюється через кожні T секунд або через кожні T сантиметрівна графіку.
Таким чином, вертикальна лінія на графіці - це шкала зсувів точки від положення рівноваги, горизонтальна середня лінія - це шкала часу.
З такого графіка легко знаходяться дві величини, що вичерпним чином характеризують коливання. Період визначається як відстань між двома рівнозначними точками, наприклад, між двома найближчими вершинами. Також відразу вимірюється найбільше усунення точки від положення рівноваги. Це усунення називається амплітудою коливання.
Розгорнення коливання дозволяє нам, крім того, відповісти на поставлене вище питання: де знаходиться точка, що коливається в той чи інший момент часу. Наприклад, де буде точка, що коливається через 11 с, якщо період коливання дорівнює 3 с, а рух почався в крайньому положенні зліва? Через кожні 3 з коливання починається з тієї ж точки. Отже, через 9 з тіло також буде у крайньому лівому положенні.
Немає потреби тому у графіку, на якому крива протягнута на кілька періодів, – цілком достатній креслення, на якому зображено криву, що відповідає одному коливанню. Стан точки, що коливається через 11 с при періоді 3 с буде такий же, як і через 2 с. Відклавши на кресленні 2 см (адже ми домовилися, що швидкість протягування паперу дорівнює 1 см/с, іншими словами, що масштаб креслення – 1 см дорівнює 1 с), ми побачимо, що через 11 с точка знаходиться на шляху з крайнього правого положення в становище рівноваги. Величину усунення в цей момент знаходимо з малюнка.
Для знаходження величини усунення точки, що здійснює малі коливання біля положення рівноваги, не обов'язково вдаватися до графіка. Теорія показує, що в цьому випадку крива залежності усунення від часу є синусоїдою. Якщо зміщення точки позначити через y, амплітуду через a періодколивання через T, значення зміщення через час t після початку коливання знайдемо за формулою
Вагання, що відбувається за таким законом, називається гармонійним. Аргумент синуса дорівнює добутку 2? на t/T. Розмір 2?(t/T) називається фазою.
Маючи під руками тригонометричні таблиці і знаючи період і амплітуду, легко обчислити величину зміщення точки і за значенням фази збагнути, в який бік точка рухається.
Неважко вивести формулу коливального руху, розглядаючи рух тіні, що відкидається на стінку грузиком, що рухається по колу.
Зміщення тіні ми відкладатимемо від середнього становища. У крайніх положеннях усунення y дорівнює радіусу кола a. Це амплітуда коливання тіні.
Якщо від середнього положення грузик пройшов по колу кут ?, його тінь (рис. 44) відійде від середньої точки на величину a sin ?.
Нехай період руху грузика (що є, звичайно, і періодом коливання тіні) є T; це означає, що 2? радіан грузик проходить під час T. Можна скласти пропорцію ?/t = 2?/T, де t – час повороту кут ?.
Таким чином, ? = 2?t/T та y = a sin 2?t/T. Це ми й хотіли довести.
Швидкість точки, що коливається, також змінюється за законом синуса. До такого висновку нас приведе те ж міркування про рух тіні грузика, що описує коло. Швидкість цього грузика є вектором незмінної довжини v 0. Вектор швидкості обертається разом з грузиком. Уявімо вектор швидкості як матеріальну стрілку, здатну відкидати тінь. У крайніх положеннях грузика вектор розташується вздовж променя світла і тіні не дасть. Коли грузик від крайнього положення пройде по колу кут?, то вектор швидкості повернеться на той же кут і його проекція дорівнюватиме v 0sin?. Але з тих же підстав,що і раніше, ?/t = 2?/T, а значить, миттєве значення швидкості тіла, що коливається
Звернімо увагу, що у формулі визначення величини усунення відлік часу ведеться від середнього становища, а формулі швидкості – від крайнього становища. Зміщення маятника дорівнює нулю при середньому положенні вантажу, а швидкість коливання – при крайньому положенні.
Між амплітудою швидкості коливання v 0 (іноді кажуть – амплітудним значенням швидкості) і амплітудою зміщення є простий зв'язок: коло довжиною 2?a грузик описує за час, що дорівнює періоду коливання T.