Sapunov_Prikladnaya_teoriya_uprugosti8 - Стор 12
3. Варіаційні принципи та енергетичні методи в теорії пружності
3.1. Загальні та приватні варіаційні принципи теореми теорії пружності
Предметом варіаційного обчислення є відшукання не-
відомих функцій f i (x, y, z), i = 1, 2, . n , що реалізують максі-
мум (мінімум) або стаціонарне значення функціоналу (певного інтеграла), що має, наприклад, вигляд:
Е = ∫ F [f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z),. f n (x, y, z);
f 1 ' ( x , y , z ) , f 2 ' ( x , y , z ) , . f n '(x, y, z); x, y, z] dV 0 .
Нагадаємо, що предметом диференціального обчислення яв-
ється відшукання невідомих значень незалежних змінних x , y , z , що реалізують максимум (мінімум) або стаціонарне знання
чення заданої функції.
Якщо всі функції f i (x, y, z), що входять у функціонал, незалежні між собою, то варіаційне завдання називається вільною,
а функціонал - повним.
У невільній варіаційній задачі між функціями, що варіюються, є залежності (рівняння зв'язку або додаткові умови), які повинні бути задоволені попередньо, до варіювання функціоналу.
Умови, за яких функціонал має стаціонарне значення (максимум, мінімум), називаються рівняннями Ейлера та природними (ейлеровими) граничними умовами. Функціонал має стаціонарну точку, якщо варіація функціоналу з усіх незалежних функцій дорівнює нулю, тобто. δ Е = 0 . Питання наявності локального екстремуму (максимуму, мінімуму) вирішується знаком
другий варіації δ 2 Е .
Вигляд рівнянь Ейлера залежить від форми математичної реалізації стаціонарного значення функціоналу: аналітичної,
чисельною абозмішаної. При аналітичній формі реалізації стаціонарного значення функціоналу рівняння Ейлера зазвичай є диференціальними рівняннями з природними граничними умовами.
Загальний варіаційний принцип лінійної теорії пружності.
Нагадаємо, що система рівнянь та граничних умов лінійної теорії пружності має вигляд:
− диференціальні рівняння рівноваги (статичні рівняння)
− залежності Коші (геометричні рівняння)
− узагальнений закон Гука (фізичні рівняння)
− статичні граничні умови на частини Σ 1 поверхні тіла
= x l + yx m + zx n ,
= τ xy l + σ y m + τ zy n,
= τ xz l + τ yz m + σ z n;
− геометричні граничні умови на частині Σ 2 поверхні тіла
Повний функціонал лінійної теорії пружності повинен включати всі компоненти напруги, деформації та переміщення, які необхідно розглядати як незалежні функції:
Е = Е ( u , v , w ; σ x , σ y , . . . , τ zx ; ε x , ε y , .. . , γ zx ) .
Конкретне уявлення повного функціоналу лінійної теорії пружності, що враховує вищенаведену систему визначальних рівнянь та граничних умов, можна знайти у науковій літературі.
Загальний варіаційний принцип лінійної теорії пружності формулюється так:
справжні поля напруг, деформацій та переміщень такі, що повний функціонал має стаціонарне значення.
Загальна варіаційна теорема
Для варіаційного рівняння δ Е = 0 , де Е − повний функціонал лінійної теорії пружності, рівняннями Ейлера та природними граничними умовами є комплект статичних, геометричних та фізичних рівнянь теорії пружності (3.2) − (3.4) та відповідні граничні умови. ).
Іншими словами, загальна варіаційна теорема стверджує, що повний функціонал містить у необхідній та достатній мірі
всю інформацію про теорію пружності, так що для вирішення завдань не потрібно залучення додаткових умов (рівнянь) крім тих, що містяться у повному функціоналі.
З повного функціоналу лінійної теорії пружності можна отримати різні приватні функціонали і тим самим перейти від вільної варіаційної задачі до невільної з додатковими умовами. Як додаткові умови приймаються співвідношення з рівнянь Ейлера та природних граничних умов, що реалізують стаціонарне значення повного функціоналу. Виконуючи додаткові умови попередньо (до варіювання) та виключаючи з їх допомогою залежну частину функціональних аргументів з повного функціоналу, отримаємо відповідний приватний функціонал.
Приватний варіаційний принцип лінійної теорії пружності формулюється так:
зі всіх можливих полів напруг, деформацій і переміщень пружного тіла, що задовольняють додатковим умовам, насправді мають місце лише ті, що надають приватному функціоналу стаціонарного значення.
Приватна варіаційна теорема
Для варіаційного рівняння δ Е k = 0 ( k = 1, 2, . ) з деякими додатковими умовами , де Е k − приватний функціонал
лінійної теорії пружності , рівняннями Ейлера є рівняння і природні граничні умови , які разом із згаданими додатковими умовами становлять повний комплект рівнянь і граничних умов теорії пружності , тобто . рівнянь Ейлера та граничних умов для повного варіаційного рівняння.
З наведеного формулювання випливає тотожність постановки завдань теорії пружності на основі повного ічасткових варіаційних рівнянь.
Як приклади наведемо деякі приватні варіаційні принципи.
Варіаційний принцип для переміщень (принцип Лагран-
ж). Якщо як додаткові умови прийняти геометри-
чеські (3.3) і фізичні (3.4) рівняння, а також геометричні граничні умови (3.6) на частині поверхні Σ 2 то приватний
функціонал лінійної теорії пружності визначатиметься тільки переміщеннями: Е = Е (u, v, w). У цьому випадку можливими функціо-
цією переміщень є ті, які відповідають зазначеним додатковим умовам (рівнянням зв'язку). А з усіх можливих переміщень дійсними будуть ті, при яких задовольняється варіаційне рівняння Е (u, v, w) = 0.
Рівняннями Ейлера для функціоналу Е = Е (u, v, w) є статичні рівняння (3.2) в області, зайнятій тілом, та граничні умови (3.5) на частині поверхні Σ 1 .
Варіаційний принцип для напруг (принцип Кастиль-
я але). Якщо як додаткові умови прийняти статичні (3.2) і фізичні (3.4) рівняння, а також статичні граничні умови (3.5) на частині поверхні Σ 1 , то приватний функцій
ционал лінійної теорії пружності визначатиметься тільки напругами: Е = Е ( σ x , σ y , ., τ zx ) . З усіх можливих полів на-
напруг, що задовольняють зазначеним додатковим умовам (рівнянням зв'язку), дійсними будуть ті, за яких задовольняється варіаційне рівняння δ Е ( σ x , σ y , . , τ zx ) = 0 .
Рівняннями Ейлера для функціоналу Е = Е ( σ x , σ y , . , τ zx )
є геометричні рівняння у напругах та граничні умови (3.6) на частині поверхні Σ 2 .
Варіаційний принцип Рейсснера. Якщо як доповн-
тельних умов прийняти фізичні рівняння (3.4), то приватний функціонал лінійної теорії пружності буде визначатися і напругами, і переміщеннями: Е = Е (u, v, w; σ x, σ y,., τ zx) - Змішаний функціонал.
Варіаційне рівняння δ Е ( u , v , w ; σ x , σ y , . , τ zx ) = 0 екві-
валентно системі статичних (3.2), геометричних рівнянь у напругах та граничних умов (3.5) та (3.6) на ділянках поверхні тіла Σ 1 та Σ 2 відповідно.
З математичної точки зору систему повного та приватних функціоналів можна розглядати як вираження загальної ідеї розчленування складної системи на елементи: розчленування реалізується у виборі деяких додаткових умов та відповідного приватного функціоналу. Так, наприклад, якщо як додаткові умови прийняти статичні, геометричні та фізичні рівняння (3.2) − (3.4), прийдемо до функціоналу граничних умов . Кожному з функціоналів може бути поставлений у відповідність один або кілька методів підбору апроксимуючих функцій для вирішення крайових завдань теорії пружності. Апроксимуючі функції, як правило, підбираються так, щоб додаткові умови задовольнялися точно, а параметри функцій, що підбираються, визначалися з умов реалізації стаціонарного значення відповідного функціоналу.
Найбільш використовуваними нині є методи Релея – Ритца, Бубнова – Галеркіна, Треффца та чисельні методи.
3.2. Принцип можливих робіт
У розділі 3.1 загальні та приватні варіаційні принципи та теореми лінійної теорії пружності розглянуті з позицій варіаційного обчислення. Однак для побудови приватних функціоналів теорії пружності та, відповідно, для реалізації приватних варіаційних принципів зручніше (і простіше) користуватися підходом, що базується напринцип можливих робіт, сформульованому І. Бернуллі (1717 р.).
Розглянемо матеріальну точку, яку діє сила P .
Припустимо, що точка отримує можливе переміщення r в напрямку r , що становить кут θ з напрямом сили P . Робота сили P на можливому переміщенні (можлива робота) дорівнюватиме
δ A = P δ r cos θ = P r δ r ,
де P r - Проекція сили на напрям r.
Якщо матеріальна точка знаходиться в рівновазі під дією сил P i ( i = 1, 2, . n ), загальна (повна) можлива робота буде оп-