Середні лінії геометричних фігур

Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційних технологій «Пошук»

1.Властивості середніх ліній

2. Трикутник, чотирикутник, паралелограм

3. Чотирьохкутник, тетраедр. Центри мас

4. Тетраедр, октаедр, паралелепіпед, куб

Список використаної літератури

Геометрія є невід'ємною складовою загальної культури, а геометричні методи є інструментом пізнання світу, сприяють формуванню наукових уявлень про навколишній простір, розкриття гармонії та досконалості Всесвіту. Геометрія починається із трикутника. Ось уже два тисячоліття трикутник є символом геометрії, але він не символ. Трикутник – атом геометрії. Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний том, який можна порівняти за обсягом з томом Великої енциклопедії. Ми хочемо розповісти про середні лінії геометричних фігур та їх властивості.

У нашій роботі простежується ланцюжок теорем, який охоплює весь курс геометрії. Вона починається з теореми про середні лінії трикутника і призводить до цікавих властивостей тетраедра та інших багатогранників.

Середня лінія фігур - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цієї фігури.

1. Властивості середніх ліній

1. Властивості трикутника:

при проведенні всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних до вихідного з коефіцієнтом 1/2.
середня лінія паралельна основи трикутника і дорівнює його половині;
середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює однійчверті його майдану.

2. Властивості чотирикутника:

якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.

3. Властивості трапеції:

середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі;
Середини сторін рівнобедреної трапеції є вершинами ромба.

2. Трикутник, чотирикутник, паралелограм

До будь-якого трикутника KLM можна додати три рівних йому трикутника АКМ, BLK, CLM, кожен з яких утворює разом з трикутником KLM паралелограм (рис. 1). При цьому AK = ML = KB, і до вершини К примикають три кути, рівні трьох різних кутів трикутника, в сумі складові 180 °, тому К - середина відрізка АВ; аналогічно, L - середина відрізка ПС, а М - середина відрізка СА.

Теорема 1. Якщо з'єднати в будь-якому трикутнику середини сторін, ми отримаємо чотири рівні трикутники, причому середній складає з кожним з трьох інших паралелограм.

У цьому формулюванні беруть участь одразу всі три середні лінії трикутника.

Теорема 2. Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника,паралельний третій стороні трикутника і дорівнює її половині (див. рис. 1).

З теореми про середні лінії трикутника випливає властивість середньої лінії трапеції (рис. 2), а також теореми про відрізки, що з'єднують середини сторін довільного чотирикутника.

Теорема 3. Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма. Сторони цього паралелограма паралельні діагоналям чотирикутника, які довжини дорівнюють половинам довжин діагоналей.

Справді, якщо К і L — середини сторін АВ і ПС (рис. 3), то KL — середня лінія трикутника ABC, тому відрізок KL паралельний діагоналі АС і дорівнює її половині; якщо М і N - середини сторін CD і AD, то відрізок MN також паралельний АС і дорівнює АС/2. Таким чином, відрізки KL та MN паралельні та рівні між собою, отже, чотирикутник KLMN — паралелограм.

Як наслідок з теореми 3 отримуємо цікавий факт (т. 4).

Теорема 4. У будь-якому чотирикутнику відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін, діляться точкою перетину навпіл.

У цих відрізках можна побачити діагоналі паралелограма (див. рис. 3), а паралелограмі діагоналі діляться точкою перетину навпіл (ця точка — центр симетрії паралелограма).

Ми бачимо, що теореми 3 і 4 і наші міркування залишаються вірними і для невипуклого чотирикутника, і для чотирикутної замкнутої ламаною, що самоперетинається, (мал. 4; в останньому випадку може виявитися, що паралелограм KLMN «вироджений» — точки К, L, М, N лежать на одній прямій).

Покажемо, як із теорем 3 і 4 можна вивести основну теорему про медіани трикутника.

Теорема5. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею щодо 2:1(вважаючи від вершини, з якої проведено медіану).

Проведемо дві медіани AL та СК трикутника ABC. Нехай О — точка їхнього перетину. Середини сторін неопуклого чотирикутника АВСО — точки К, L,MіN (рис. 5) — вершини паралелограма, причому точкою перетину його діагоналей КМ та LN для нашої конфігурації буде точка перетину медіан О. Отже, AN = NO = OL та CM = MO = OK, т. е. точка О поділяє кожну медіан AL і СК щодо 2:1.

Замість медіани СК ми могли б розглянути медіану, проведену з вершини, і переконатися точно так само, що і вона ділить медіану AL щодо 2:1, тобто проходить через ту ж точку О.

3.Чотирикутник і тетраедр. Центри мас

Теореми 3 і 4 вірні і для будь-якої просторової замкнутої ламаної з чотирьох ланок АВ, ПС, CD, DA, чотири вершини А, В, С, D якої не лежать в одній площині.

Такий просторовий чотирикутник можна отримати, вирізавши з паперу чотирикутник ABCD та зігнувши його по діагоналі під деяким кутом (рис. 6, а). При цьому ясно, що середні лінії KL і MN трикутників ABC і ADC залишаються, як і раніше, середніми лініями і будуть паралельні відрізку АС і дорівнюють АС/2. (Тут ми використовуємо той факт, що для простору залишається вірним основна властивість паралельних прямих: якщо дві прямі KL і MN паралельні до третьої прямої АС, то KL і MN лежать в одній площині і паралельні між собою.)

Таким чином, точки К, L, М, N - вершини паралелограма; цим відрізки КМ і LN перетинаються і діляться точкою перетину навпіл. Замість чотирикутника тут можна говорити про тетраедру — трикутну піраміду ABCD: середини К, L, М, N ребер АВ, AC, CD і DA завжди лежать в одній площині. Розрізавши тетраедр цією площиною (рис. 6, б), ми отримаємопаралелограм KLMN, дві сторони якого паралельні ребру АС і рівні

АС/2, а дві інші - паралельні ребру BD і дорівнюють BD/2.

Такий же паралелограм — «середній перетин» тетраедра можна побудувати і для інших пар протилежних ребер. Кожні з цих трьох паралелограмів мають загальну діагональ. У цьому середини діагоналей збігаються. Отже, ми отримуємо цікавий наслідок:

Теорема 6. Три відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл (рис. 7).

Цей та інші факти, що обговорювалися вище, природно пояснюються мовою механіки — за допомогою поняття центру мас. У теоремі 5 йдеться про одну з чудових точок трикутника - точку перетину медіан; в теоремі 6 - про чудову точку для четвірки вершин тетраедра. Ці точки — центри мас відповідно до трикутника і тетраедра. Повернемося спочатку до теореми 5 про медіани.

Помістимо у вершинах трикутника три однакові вантажі (рис. 8).

Масу кожного приймемо за одиницю. Знайдемо центр мас цієї системи вантажів.

Розглянемо спочатку два вантажі, що знаходяться у вершинах А і В: їхній центр мас розташований у середині відрізка АВ, так що ці вантажі можна замінити одним вантажем масою 2, поміщеним у середину К відрізка АВ (рис. 8, а). Тепер потрібно знайти центр мас системи з двох вантажів: одного масою 1 у точці С і другого масою 2 у точці К. За правилом важеля, центр мас такої системи знаходиться в точці О, що ділить відрізок СК щодо 2:1 (ближче до вантажу у точці К з більшою масою — рис.8, б).

Ми могли спочатку об'єднати вантажі в точках В і С, а потім отриманий вантаж масою 2 в середині L відрізка НД з вантажем в точці А. Або спочатку об'єднати вантажі А і С, а. потімприєднати В. У будь-якому випадку ми маємо отримати той самий результат. Центр мас знаходиться, таким чином, у точці О, що ділить кожну з медіан щодо 2:1, рахуючи від вершини. Подібними міркуваннями можна було пояснити і теорему 4 - той факт, що відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін чотирикутника, ділять один одного навпіл (служать діагоналями паралелограма): достатньо помістити у вершинах чотирикутника однакові вантажі і об'єднати їх попарно двома способами (рис. 1).