Схема Бернуллі
| Визначення: |
| Схемою Бернуллі(англ.Bernoulli scheme) називається послідовність незалежних випробувань, у кожному з яких можливі лише два результати - «успіх» і «невдача», при цьому успіх у кожному випробуванні відбувається з однією і тією самою ймовірністю [math] p \in (0, 1) [/math] , а невдача з ймовірністю [math] q = 1 - p [/math] . |
Зміст
Розподіл Бернуллі [ред.]
| Визначення: |
| Розподіл Бернуллі(англ.Bernoulli distribution) - визначає ситуації, де "випробування" має результат "успіх" або "неуспіх". |
Випадкова величина [math]\xi[/math] з таким розподілом дорівнює числу успіхів в одному випробуванні схеми Бернуллі з ймовірністю [math]p[/math] успіху: жодного успіху чи одного успіху. Функція розподілу [math] \xi[/math] має вигляд
[math] F_(x) = P(\xi \lt x) \begin 0, & x\leqslant 0 \1 - p, & 0 \lt x \leqslant 1\1, & x \gt 1 \end [/math]
Біноміальний розподіл [ред.]
| Визначення: |
| Випадкова величина [math]\xi[/math] маєбіноміальний розподіл(англ.binomial distribution) з параметрами [math]n \in \mathbb N[/math] та [math ] p \in (0, 1)[/math] і пишуть: [math] \xi \in \mathbb B_[/math] якщо [math] \xi[/math] набуває значення [math]k = 0, 1 , \ldots ,n[/math] з ймовірностями [math]P(\xi = k) = [/math] [math] \dbinom \cdot p^k \cdot (1 - p)^ [/math] . |
Випадкова величина з таким розподілом має сенс числа успіхів у [math] n [/math] випробуваннях схеми Бернуллі з ймовірністю успіху [math] p [/ math].
Таблиця розподілу [math] \xi [/math] має вигляд
| [math]\xi [/math] | 0 | 1 | [math]\ldots[/math] | [math]k[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]n[/math] |
| [math]P[/math] | [math](1 - p) ^ n [/math] | [math]n \cdot p \cdot (1 - p)^[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]\dbinom \cdot p^k \cdot (1 - p)^ [/math] | [math]\ldots[/math] | [math] p^n [/math] |
Формула Бернуллі [ред.]
Позначимо через [math] v_[/math] число успіхів, що трапилися в [math] n[/math] випробуваннях схеми Бернуллі. Ця випадкова величина може набувати цілі значення від [math]0[/math] до [math]n[/math] залежно від результатів випробувань. Наприклад, якщо всі [math]n[/math] випробувань завершилися невдачею, то величина [math] v_[/math] дорівнює нулю.
| Теорема: |
Набір ймовірностей у теоремі називається біномним розподіломймовірностей.
Геометричний розподіл [ред.]
| Визначення: |
| Геометричний розподіл(англ.geometric distribution) - розподіл дискретної випадкової величини, що дорівнює кількості випробувань випадкового експерименту до спостереження першого успіху. |
| Лемма: |
| Імовірність того, що перший успіх відбудеться у випробуванні з номером [math]k \in \mathbb N = [/math] дорівнює [math]P(r = k) = p \cdot q^ [/math] |
| Доказ: |
| [math]\triangleright[/math] |
| Імовірність першим [math] k - 1 [/math] випробуванням завершитися невдачею, а останньому - успіхом, що дорівнює [math] P(r = k) = p \cdot q^ [/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема: |
За визначенням умовної ймовірності, [math] P(r \gt n + k r \gt n) = [/math] [math] \dfrac = \dfrac [/math] [math]\left(1\right)[/math ]
Остання рівність вірна через те, що подія [math] [/math] спричиняє подію [math][/math] , тому їх перетином буде подія [math] [/math] . Знайдемо для цілого [math] m \geqslant 0[/math] ймовірність [math] P(r \gt m)[/math] : подія [math] r \gt m [/math] означає, що у схемі Бернуллі перші [ math]m[/math] випробувань завершилися «невдачами», тобто його ймовірність дорівнює [math] q^[/math]. Повертаючись до формули [math]\left(1\right)[/math] отримуємо, що ця випадкова величина дорівнює [math] P(r \gt n + k r \gt n) = [/math] [math] \dfrac = \dfrac> > =[/math] [math] q^ = P(r\gt k)[/math] .
Узагальнення (поліноміальна схема) [ред.]
Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли при кожному випробуванні можливе одне з двох результатів. Розглянемо випадок, як у одному випробуванні можливі [math] m[/math] результатів: [math]1, 2, \ldots , m,[/math] і [math]i[/math] -й результат у одному випробуванні трапляється з ймовірністю [math] p_[/math] , де [math]p_ + \ldots + p_ = 1[/math] .
| Теорема: |
Розглянемо один елементарний результат, сприятливий випадання [math]n_[/math] одиниць, [math] n_[/math] двійок, тощо. Це результат [math]n[/math] експериментів, коли всі необхідні наслідки з'явилися в деякому заздалегідь заданому порядку. Імовірність такого результату дорівнює добутку ймовірностей [math] p_> \ldots p_>[/math] . Інші сприятливі результати відрізняються лише розташуванням чисел [math]1, 2, \ldots , m[/math] на [math]n[/math] місцях. Число таких результатів дорівнює числу способів розташувати на [math]n[/math] місцях [math]n_[/math] одиниць, [math]n_[/math] двійок, і так далі Це число одно
[math]\dbinom \cdot\dbinom \cdot \dbinom \cdot\ldots \cdot \dbinom> = dfrac ! \cdot n_! \cdot \ldots \cdot n_!> [/math]
Приклади [ред.]
Правильна монета [ред.]
Правильна монета підкидається [math]10[/math] разів. Знайти ймовірність те, що герб випаде від [math]4[/math] до [math]6[/math] раз.
Обчислимо окремо можливості отримати [math]4, 5[/math] і [math]6[/math] гербів після десяти підкидань монети.
[math]P(v_ = 4) =[/math] [math] \dbinom\cdot\left(\dfrac\right)^ \cdot \left(\dfrac\right)^ [/math] [math]
[math]P(v_ = 5) = [/math] [math]\dbinom \cdot \left(\dfrac\right)^ \cdot \left(\dfrac\right)^ [/math] [math]
[math]P(v_ = 6) =[/math] [math] \dbinom \cdot \left(\dfrac\right)^ \cdot \left(\dfrac\right)^ [/math] [math]
Складемо ймовірності несумісних подій: [math]P(4 \leqslant v_ \leqslant 6) = P(v_ = 4) + P(v_ = 5) + P(v_ = 6)
Правильна гральна кістка з двома результатами [ред.]
Два гравці по черзі підкидають правильну гральну кістку. Виграє той, хто першим викине шість очок. Знайти ймовірність перемоги гравця, який починає гру.
Шість очок може вперше випасти за першого, другого, і так далі. кидки кістки. Перший гравець перемагає, якщо це станеться при кидку з непарним номером, другий - з парним. Нехай подія [math] A_ [/math] у тому, що шість очок вперше випаде у випробуванні з номером [math]k[/math] . По лемі, [math] P(A_) =[/math] [math]\dfrac \cdot \left(\dfrac\right)^ [/math] Події [math]A , B[/math] , що означають перемогу першого і другого гравців відповідно, представимі як об'єднання взаємовиключних подій: [math] A = A_ \cup A_ \cup A_ \cup \ldots , B = B_\cup B_ \cup B_ \cup \ldots [/math] Імовірності цих об'єднань рівні сумам ймовірностей доданків:
[math] P(A) =[/math] [math] \dfrac + \dfrac \cdot \left(\dfrac\right)^ + \dfrac \cdot\left(\dfrac\right)^ \ldots = \dfrac .[/math] Тепер аналогічним чином вважаю ймовірність для події [math]B[/math]
[math] P(B) =[/math] [math] \dfrac \cdot \dfrac + \dfrac \cdot \left(\dfrac\right)^ + \dfrac \cdot\left(\dfrac\right)^ \ ldots = dfrac. [/math]
Правильна гральна кістка з трьома результатами [ред.]
Гральна кістка підкидається в п'ятнадцять разів. Знайти ймовірність того, що випаде рівно десять трійок та три одиниці. Тут кожне випробування має три, а не два результати: випадання трійки, випадання одиниці, випадання будь-якої іншої грані.
Оскільки ймовірності випадання трійки та одиниці рівні по [math]\dfrac[/math] , а ймовірність третього результату (випала будь-яка інша грань) [math]\dfrac[/math] , то можливість отримати десять трійок, три одиниці і ще два інших очка дорівнює
[math] P(10, 3, 2) = [/math] [math] \dfrac \cdot \left(\dfrac\right)^ \cdot \left(\dfrac\right)^ \cdot \left(\dfrac \right)^ [/math]