Схрещувальні прямі
Нам потрібно знайти відстань між двома відрізками AS та BC. Ці відрізки лежать на прямих, що схрещуються. Дійсно з умови випливає, що точка SABC, а AABC, отже, пряма, AS перетинає площину ABC і оскільки BCABC і ABC, то наше твердження випливає з ознаки прямих, що схрещуються. Тепер ми можемо сформулювати завдання точніше: нам потрібно знайти відстань між прямими, що схрещуються.
Визначення 1.Відстань між однією з схрещуваних прямих і площиною, що проходить через іншу пряму паралельно першою, називається відстанню між схрещеними прямими.(Геометрія 10-11 кл. Л. С. Атанасян та ін М. Просвітництво, 2009 р.)
Дотримуючись цього визначення нам необхідно побудувати площину, що проходить через одну з прямих, що схрещують, паралельно інший і побудувати перпендикуляр до цієї площини з точки, що належить іншій прямій.
Яку пряму вибрати? Зазвичай, таке завдання вирішується перебором.
Ми вибрали пряму AS, проведемо через цю пряму площину паралельну до BC. Для наочності виконаємо наступні далеко ще не очевидні побудови.
2. Далі побудуємо перетин паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 площиною ADS, у перетині буде паралелограм ADSC1 (ребра паралелепіпеда AD і C1S рівні та паралельні
4. Нехай пряма BM перпендикулярна до прямої DS. Відрізок BM є найкоротша відстань між прямими, що схрещуються. Доведемо це твердження. З умови випливає, що BCBS і BCAC, оскільки ACDB, то BCDB, оскільки до того ж BD і BS перетинаються прямі, то BCDBS, але й ADDBS, оскільки BMDBS, то BMAD. Так як BM перпендикулярна до двох прямих AD і DS, що перетинаються, лежать у площині ADSC1, то BMADSC1.
5. Щоб обчислити довжину відрізка BM нам необхідно обчислити довжини відрізків BC, BS і DS.
За умовою C прямий, тому ABC - прямокутний, отже, AB 2 = AC 2 + BC 2;
BC 2 = 13 2 - 12 2;
За умовою S проектується B, тому BSABC, BCABC, отже BSBC. означає CSB - прямокутний, отже, CS 2 = BC 2 + BS 2;
BS 2 = (5) 2 - 5 2;
BSABC, по побудові BDABC, тому BSBD звідки випливає, що BDM - прямокутний, отже, DM 2 = DB 2 - BM 2;
BMS прямокутний, отже, MS 2 = BS 2 - BM 2
Нехай BM = x, тоді
DM =;
MS =;
Так як BM загальний катет двох прямокутних трикутників з гіпотенузами 10 і 12, то 02 - x 2 & gt; 0, 12 2 - x 2 & gt; 0 .
Скласти рівняння можна двома способами або використовувати очевидну рівність DS = DM + MS, або використовувати властивість перпендикуляра проведеного з вершини прямого кута до гіпотенузи. І в тому і в іншому випадку отримаємо ірраціональне рівняння. Ці рівняння мають різну складність. Підемо другим шляхом, оскільки, на нашу думку, рівняння буде більш простим.
BM 2 = DMMS;
x 2 =; зведемо обидві частини рівняння квадрат, враховуючи вище викладені міркування, отримаємо рівняння рівносильне даному.
x 4 = 14400 - 100x 2 - 144x 2 + x 4;
x =.
Відстань між ребрами AS і BC дорівнює.
Вирішити це завдання можна й інакше. У підручнику Геометрія 7-11кл. А. В. Погорєлов М. Просвітництво 2009р. поняття відстань між схрещуючими прямими визначається так.
Визначення 2.Відстанню між схрещувальними прямими називають довжину загального перпендикуляра до цих прямим.
Щоб побудувати загальний перпендикуляр прямих, що схрещують, виконаємо наступні побудови.Щоб не повторяться будувати паралелепіпед, ми не будемо і малюнок буде простіше.
Вище ми довели, що BMADS. Оскільки по побудові QPBM, то QPADS. ADADS тому QPAD.
З іншого боку BC перпендикулярна двом прямим BS і BD, що перетинаються, отже, BMBC, але тоді так як MBQP, то QPBC.
QMBP - паралелограм, отже, QP = BM. Як визначається довжина відрізка BM. ми розібрали вище.
Тепер обчислимо PM. За умовою основа висоти піраміди збігається з центром симетрії прямокутника, тому O середина діагоналей AC і BD, тоді, у перших OPE, по-друге бічні ребра SA = SB = SC = SD. З рівності бічних ребер піраміди випливає, що SBC є рівнобедреним трикутником і тому його висота SE є медіаною і тому EC = 0,5a і SE 2 = c 2 - 0,25a 2 .
З прямокутного трикутника SOE випливає, що SO 2 = SE 2 - OE 2
SO 2 = c 2 - 0,25 a 2 - 0,25 b 2 .
З цього ж трикутника та визначення синуса для гострого кута випливає, що
sinSEO=.
З прямокутного трикутника PME та визначення синуса для гострого кута випливає, що PM = PEsinSEO, тоді
PM = b.
Зверніть увагуна те, що шуканий відрізок знаходиться в площині перпендикулярної до однієї з прямих, що схрещуються. Цей факт дозволяє нам запропонувати наступний спосіб розв'язання задач на знаходження відстані між прямими, що схрещуються.
1. Будуємо площину перпендикулярну до однієї з прямих, що схрещуються.У задачі 1 це площина DD1SC.
2. Проектуємо кожну з прямих, що схрещуються, на цю площину. Проекцією однієї з них буде точка.У задачі 1 проекція прямої ВС буде точка С, а проекція прямої AS буде пряма SD.Таким чином це завдання формулюємо так:"Знайти відстань від точки до прямої.У задачі 1 знайти відстань від точки С до прямої DS.
3. Проводимо перпендикуляр від точки до прямої. Це буде завжди перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута прямокутного трикутника до гіпотенузи і, отже, завжди можна застосувати його властивість, для чого попередньо знаходимо гіпотенузу і катети прямокутного трикутника.
Для закріплення навички знаходження відстані між проймами, що схрещуються, пропонуємо вирішити наступні завдання. Побудуйте зображення куба і знайдіть пари прямих, що схрещуються. Для кожної обраної пари прямих доведіть, використовуючи ознаку прямих, що схрещуються, що це прямі, що схрещуються.
Зауваження. У тому випадку, коли виникають труднощі в знаходженні пар прямих, що схрещуються, можна самостійно виготовити з паперу або з сірників і пластеліну модель куба і на цій моделі виконувати пошук прямих. Бажано модель розміщувати у різних положеннях. Після роботи з моделлю проробіть цю роботу подумки, намагаючись уявити модель куба і лише потім перейти до малюнка.
Даний куб ABCDA1B1C1D1. AB = 5 см. Знайти відстань між прямими AA1 і BD.Підказка.Зверніть увагу на відрізок АC
Завдання 4.Сторони основи прямокутного паралепіпеда дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть відстань між діагоналлю паралепіпеда і боковим ребром, що не перетинає її.