Системи числення форми подання інформації на ем мета роботи - Методичні вказівки
Лабораторна робота №1
ФОРМИ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ІНФОРМАЦІЇ НА ЕОМ.
Вивчити позиційні та непозиційні системи числення, а також форми подання інформації на ЕОМ.
Отримати навички визначення кількості інформації у конкретному повідомленні; перетворення чисел з однієї системи числення на іншу, а також виконання основних математичних операцій з числами в різних системах числення.
Детально вивчити методичні вказівки та рекомендовану літературу.
Виконати завдання згідно з отриманим варіантом.
Методичні вказівки
Системою численняназивається сукупність прийомів найменування та запису чисел. У будь-якій системі числення для представлення чисел вибираються деякі символи (слова чи знаки), званібазисними числами, проте інші числа виходять у результаті будь-яких операцій з базисних чисел даної системи обчислення. Символи, які використовуються для запису чисел, можуть бути будь-якими, тільки вони повинні бути різними і значення кожного з них має бути відомим. У світі найпоширенішим є уявлення чисел у вигляді арабських цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – спеціальних знаків, використовуваних для запису чисел. Системи числення відрізняються вибором базисних чисел і правилами освіти їх інших чисел. Наприклад, у римській системі числення базисними є числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, які позначаються знаками I, V, X, L, С, D, М, інші виходять шляхом складання і віднімання базисних.
Позиційні та непозиційні системи числення
Для зображення (або уявлення) чисел в даний час використовуються в основному позиційні системиобчислення. Звичною всім є десяткова система числення. У цій системі для запису будь-яких чисел використовується лише десять різних знаків (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ці цифри введені для позначення перших десяти послідовних чисел, а наступне число 10 і т.д. позначається без використання нових цифр. Проте запровадженням цього позначення зроблено важливий крок у побудові системи числення: значення кожної цифри залежить від місця (позиції), де вона стоїть у зображенні числа.
Таким чином, система називаєтьсяпозиційною, якщо значення кожної цифри (її вага) змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Перша відома система, заснована на позиційному принципі – шістдесяткова вавілонська. Цифри у ній були двох видів, одним із яких позначалися одиниці, іншим – десятки. Сліди Вавилонської системи збереглися до наших днів у способах вимірювання та запису величин кутів та проміжків часу.
Унепозиційнихсистемах обчислення від положення цифри в записі числане залежитьвеличина, яку вона позначає. Прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій як цифри використовуються латинські літери:
Наприклад, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 - 1 = 9.
У позиційній системі числення порівняння двох чисел відбувається так: у розглянутих числах зліва направо порівнюються цифри, які у однакових позиціях. Велика цифра відповідає більшому значенню числа. Наприклад, для чисел 123 та 234, 1 0 = 1
5 = 1012 - 1 2 2 + 0 2 1 +1 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
9 = 10012 - 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 0 + 0 +1 = 9
Арифметичні дії, що виконуються у двійковійсистемі, підпорядковуються тим самим правилам, як у десятковій системі. Лише у двійковій системі перенесення одиниць у старший розряд виникає частіше, ніж у десятковій. Ось як виглядає таблиця додавання в двійковій системі:
1 + 1 = 0 (перенесення 1 до старшого розряду)
Таблиця множення для двійкових чисел:
Розглянемо на прикладах основні арифметичні події з двійковими числами.
1.1. Знайти суму чисел 1001012 та 10102.
Рішення. Відповідно до таблиці додавання двійкових чисел:
1.2. Знайти суму чисел 10012 та 10112.
Рішення. Відповідно до таблиці додавання двійкових чисел:
2.1. Знайти добуток чисел 1001012 та 1012.
Відповідно до таблиці множення та додавання двійкових чисел:
До недоліків двійкової системи числення можна віднести громіздкість запису чисел. Наприклад, число 5671010 у двійковій системі числення записується як 10001101112. Крім того, природні можливості людського мислення не дозволяють швидко і точно оцінити величину числа, представленого, наприклад, комбінацією з 16 нулів і одиниць.
Для полегшення сприйняття двійкового числа було вирішено розбивати його на групи розрядів, наприклад, три або чотири розряди. Ця ідея виявилася дуже вдалою, оскільки послідовність із трьох біт має 8 комбінацій, а послідовність із 4 біт – 16. Числа 8 та 16 є ступенями двійки, тому легко знаходити відповідність із двійковими числами. Розвиваючи цю ідею, дійшли висновку, що групи розрядів можна закодувати, скоротивши у своїй довжину послідовності символів. Для кодування трьох бітів потрібно вісім цифр, тому взяли цифри від 0 до 7 десяткової системи. Для кодування чотирьох бітів необхідно шістнадцять знаків; для цього взяли 10 цифр десяткової системи та 6 букв латинськогоалфавіту: A, B, C, D, E, F. Отримані системи, що мають підстави 8 і 16, назвали відповідно восьмеричною і шістнадцятковою.
Вісімкова система числення
У восьмеричной (8) системі числення використовуються вісім базисних цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основа системи - 8. При записі негативних чисел перед послідовністю цифр ставлять знак мінус. Додавання, віднімання, множення та розподіл чисел, представлених у вісімковій системі, виконуються подібно до того, як це роблять у десятковій системі числення.
Запис будь-якого числа в цій системі ґрунтується на його розкладанні за ступенями числа 8 з коефіцієнтами, що є вказаними вище базисними числами.
Наприклад, десяткове число 180,510 у вісімковій системі зображуватиметься у вигляді 264,48. Якщо записати це число у вигляді полінома (1), то отримаємо
.
Шістнадцяткова система числення
У шістнадцятковій (hexadecimal) системі числення базисними є числа від 0 до 9 і шість перших букв латинського алфавіту A, B, C, D, E, F, що відповідають числам 10, 11, 12, 13, 14, 15. При записі негативних чисел ліворуч від послідовності цифр ставлять знак мінус.
Наприклад, десяткове число 289810 у шістнадцятковій системі записуватиметься у вигляді В52. Справді, з огляду на те, що В=11:
Шістнадцяткова система числення широко використовується при заданні різних кольорів при кодуванні графічної інформації (так звана модель RGB).
ПЕРЕКЛАД ЧИСЕЛ З ОДНОЇ СИСТЕМИ ЗЛІЧЕННЯ НА ІНШУ
При вирішенні завдань за допомогою ЕОМ вихідні дані зазвичай задаються у десятковій системі числення; у цій же системі, як правило, потрібно одержати й остаточні результати. Так як у сучасних ЕОМ данікодуються в основному в двійкових кодах, то, зокрема, виникає необхідність переведення чисел із десяткової до двійкової системи числення і навпаки. Розглянемо переклад чисел із однієї системи числення до іншої на прикладах.
3.1. Перетворіть число 56710 з десяткового на двійкову систему.
Є два способи перетворення десяткових чисел у двійкову систему числення.
1-й спосіб. Визначається максимальна ступінь двійки, така, щоб 2 в цьому ступені було менше або дорівнює вихідному числу. У разі це 9, т.к. 29 = 512, а 210 = 1024, що більше початкового числа (1024 567). Таким чином, одержують число розрядів результату. Воно дорівнює 9+1=10. Тому результат матиме вигляд 1ххххххххх, де замість х можуть стояти будь-які двійкові цифри (0 або 1). Знайдемо другу цифру результату. Зведемо 2 ступінь 9 і віднімемо з вихідного числа: 567-2 9 =55. Залишок можна порівняти з числом 2 8 =256. Оскільки 256 > 55, то дев'ятий розряд буде банкрутом, тобто. результат набуде вигляду 10хххххххх. Розглянемо восьмий розряд. Оскільки 2 7 =128 > 55, то і він буде нульовим. Сьомий розряд також виявляється нульовим. Шуканий двійковий запис числа набуває вигляду 1000хххххх. 2 5 =32 3 що означає рівність одиниці п'ятого розряду. Діючи аналогічно, в результаті виходить число 1000110111. Число 56710 було розкладено за ступенями двійки:
567=1*2 9 +0*2 8 +0*2 7 +0*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0
2-й спосіб. При цьому способі переведення чисел використовується операція поділу в стовпчик. Розділивши число 567 на 2, отримаємо приватне 283 і залишок 1. Проведемо ту ж операцію з числом 283. Отримаємо приватне 141, залишок 1. Знову ділимо отримане приватне на 2, і так до тих пір, поки приватне не стане менше дільника. Тепер для того, щоб отриматичисло в двійковій системі числення, достатньо записати останнє приватне, тобто 1, і приписати до нього у зворотному порядку всі отримані в процесі поділу залишки.
Р
Наведені два способи рівнозначні та застосовні при переведенні числа з десяткової системи в систему з будь-якою основою.
3.2. Перетворіть число 68204310 у систему числення з основою 16.
Будемо послідовно ділити число 68204310 у стовпчик на 16. Процес поділу закінчується, коли приватне стає строго менше 16.
З
3.3. Перетворіть число 4A3F на систему числення з основою 10.
Для запису числа 4A3F у десятковій системі числення скористаємося поліномом (1).
.
Замінивши A на 10, а F на 15 отримаємо .
Для перекладу цілих чисел з двійкової системи в системи з основою, що дорівнює ступеням двійки (8=2 3 і 16=2 4 ), потрібно:
дане двійкове число розбити праворуч наліво на групи по n-цифр у кожній (для вісімкової системиn=3, для шістнадцятковоїn=4);
якщо в останній лівій групі виявиться меншеnрозрядів, то доповнити її нулями до потрібного числа розрядів;
розглянути кожну групу, якn-розрядне двійкове число, та замінити її відповідною цифрою в системі числення з основою 2n.