Спектральне подання неперіодичних сигналів

Для спектрального уявлення неперіодичних сигналів вводиться поняття спектральної густини.

Спектральна щільність – це комплексно-значна функція частоти, що одночасно несе інформацію, як про амплітуду, так і про фазу елементарних синусоїд.

Спектральна щільність та сигнал пов'язані між собою парою перетворень Фур'є:

(2.9)

(2.10)

Оскільки представлення спектрів неперіодичних сигналів використовуються інтегральні перетворення Фур'є, ці спектри суцільні.

Спектральна щільність може бути подана у вигляді:

Речовина спектральної щільності є парна функція частоти:

Уявна частина спектральної щільності є непарна функція частоти:

Якщо записати спектральну щільність у показовій формі, можна виділити її модуль і аргумент:

Модуль спектральної щільності називається амплітудним спектром сигналу:

а аргумент спектральної густини - фазовим спектром сигналу.

Пара перетворень Фур'є має фундаментальне значення теорії електрозв'язку, оскільки багато характеристик сигналів пов'язані між собою цими перетвореннями.

Всі властивості спектральної щільності поєднані в основних теоремах спектрів.

Теореми про спектри

I. Властивість лінійності.

Якщо є деяка сукупність сигналів причому ,…, то зважена сума сигналів перетворюється по Фур'є так:

(2.11)

Тут – довільні числові коефіцієнти.

ІІ. Теорема про зрушення.

Припустимо, що сигналу відома відповідність . Розглянемо такий самий сигнал, але виникає на секунду пізніше. Приймаючи точку за новий початок відліку часу, позначимо цей зміщений сигнал як . Введемо заміну змінної: . Тоді ,

Модуль комплексного числа за будь-яких дорівнює 1, тому амплітуди елементарних гармонійних складових, з яких складається сигнал, не залежать від його положення на осі часу. Інформація про цю характеристику сигналу укладена частотою залежності аргументу від його спектральної щільності (фазовому спектрі).

ІІІ. Теорема масштабів.

Припустимо, що вихідний сигнал змінюється масштаб часу. Це означає, що роль часу грає нова незалежна змінна (- деяке речове число.) Якщо > 1, то відбувається "стиск" вихідного сигналу; якщо ж 0

V. Теорема про згортку.

Як відомо, під час підсумовування сигналів їх спектри складаються. Однак спектр добутку сигналів не дорівнює добутку спектрів, а виражається деяким спеціальним інтегральним співвідношенням між спектрами співмножників.

Нехай і - два сигнали, котрим відомі відповідності , .Утворимо добуток цих сигналів: і обчислимо його спектральну щільність. За загальним правилом:

(2.18)

Застосувавши зворотне перетворення Фур'є, виразимо сигнал через його спектральну щільність і підставимо результат (2.18):

Змінивши порядок інтегрування, матимемо:

(2.19)

Інтеграл, що стоїть у правій частині називаютьзгорткоюфункцій V і U. Символічно операція згортки позначається як *

Таким чином, спектральна щільність добутку двох сигналів з точністю до постійного числового множника дорівнює згортці спектральних щільностей співмножників:

(2.20)

Операція згортки коммутативна, тобто. допускає зміни порядку прямування перетворюваних функцій:

Теорема про згортку може бути звернена: якщо спектральна щільність деякого сигналу представляється у вигляді твору, причому

і , то сигнал є згорткою сигналів і , але вже не в приватній , а в часовій області:

(2.21)

VI. Теорема Планшереля

Нехай два сигнали і, в загальному випадку комплексні, визначені своїми зворотними перетвореннями Фур'є:

;

.

Знайдемо скалярний добуток цих сигналів, висловивши один із них, наприклад, через його спектральну щільність:

Тут внутрішній інтеграл є спектральною щільністю сигналу тому:

(2.22)

Скалярний добуток двох сигналів з точністю до коефіцієнта пропорційно до скалярного твору їх спектральних щільностей.

---