Стаття залгебри (11 клас) на тему Використання методу мажоранта при вирішенні рівнянь та

При вирішенні нестандартних завдань зустрічаються рівняння, що містять різнорідні функції, розв'язання яких буває нескладним, якщо використовувати властивості числових функцій.

Використання методу мажоранта під час вирішення рівнянь

МБОУ «Куйбишевська ЗОШ»

Рубцівського району Алтайського краю

При вирішенні нестандартних завдань трапляються рівняння, що містять різнорідні функції. Завдання такого типу зустрічаються серед екзаменаційних. У підручнику «Алгебра та початку аналізу» А.Г.Мордковича є кілька подібних завдань, але чіткого визначення та методу розв'язання даних рівнянь немає.

У різних джерелах цей метод називається по-різному. Деякі математики називають цей метод інакше: «метод математичної оцінки», «метод mini-max», завдання «зустріч на краю». А.Г.Мордкович у підручнику «Алгебра і початку аналізу» пропонує розглядати даний метод як «досить гарний різновид функціонально-графічного методу». Але в більшості джерел він називається «метод мажорант». Це дуже гарний метод, і йому неодмінно треба навчитися всім. Метод, який має місце бути в ЄДІ.

Історія слова "мажорант". У великій радянській енциклопедії читаємо «Мажоранта і міноранта (франц. majorante і minorante, від majorer - оголошувати більшим і minorer - оголошувати меншим) (матем.), дві функції, значення першої з яких не менше, а другий не більше відповідних значень цієї функції (Для всіх розглянутих значень незалежного змінного).

Метод мажорант - нестандартний метод розв'язання рівняння та нерівностей. Полягає в тому, що одна частина рівняння (або нерівності) обмежена зверху деяким числом М, а інша частинарівняння (або нерівності) обмежена знизу тим самим числом М. Число М називається мажорантою.

Ми знаємо багато мажорантів для відомих функцій:

Методом мажорант вирішуються рівняння виду f(x)=g(x) де f(x) і g(x) функції зовсім різного виду.

Мажорантою (від magiorante – головний) цієї функції f на безлічі р називається таке число М, що або f(х) ≤ М всім хр, або f(х) ≥ М всім хр.

Що потрібно знати та вміти, щоб застосувати цей метод?

З першого рівняння отримуємо, що х=0 але sin 01.

f(х)= 3, g(x)= lg(10-х 2 )

10- х 2 10, функція y=lgt – зростаюча, отже, lg(10-х 2 ) lg10; lg(10-х 2) 1, тобто. g(x) 1.

Вихідне рівняння рівносильне системі

0 – корінь рівняння.

25х2-20х+6=2-cos 2

25х2-20х+4=-cos 2

(5x-2) 2 0, 0 cos 2 1, отже, -1-cos 2 0, тобто. М = 0.

Вирішуючи, перше рівняння, маємо, що х = 0,4. Підставляючи друге рівняння, отримуємо правильну рівність.

Рішення. ОДЗ: 2≤x≤4 .

Розглянемо праву частину рівняння.

Введемо функцію y = x 2 - 6x + 11.

Графіком функції є парабола з вершиною A(3;2).

Найменше значення функції y(3) = 2, тобто.

y = x 2 – 6x + 11≥2.

Розглянемо ліву частину рівняння. Введемо функцію

За допомогою похідної неважко знайти максимум функції, яка диференційована на (2; 4);

Складемо систему рівнянь, виходячи із зазначених вище умов:

Розв'язавши перше рівняння системи, маємо x = 3 . Підставляючи це значення на друге рівняння, переконуємося, що x = 3 – рішення системи.

Як ми бачите, рівняння вирішуються досить нескладно, головне у подібних завданнях – побачити наявність мажоранти.

Ознаки присутності мажоранти у завданні

  1. Змішане рівняння (чи нерівність), тобто. у завданні є різнорідні функції, наприклад, логарифмічна та лінійна, або квадратний тричлен та тригонометрична, або взагалі кілька видів.
  2. Складний, триповерховий та лякаючий вигляд, великі числа та коефіцієнти.

Для знаходження мажоранти необхідні:

  1. Здоровий глузд і нестандартний погляд на речі;
  2. Знання властивостей функцій;
  3. Вміння досліджувати функції на максимум, мінімум, області значень та інші характеристики;
  4. Вміння перетворювати функції так, щоб було простіше витягнути мажоранту;
  5. При застосуванні цього методу використовується визначення обмежених функцій.

Функція f(x) називається обмеженою зверху, якщо існує таке число А, що для всіх значень аргументу з області визначення функції виконується нерівність.

Функція f(x) називається обмеженою знизу, якщо існує таке число А, що для всіх значень аргументу з області визначення функції виконується нерівність.

Функція, обмежена зверху та знизу, називається просто обмеженою.

  1. Знати деякі нестандартні нерівності.

1. а) при рівність при

б) при рівність досягається при

2. при рівність досягається при

Мажоранту можна знайти за допомогою графіки функцій.

Знайдемо, за якого значення x мінімум функції y 1 збігається з максимумом функції y 2 .

Для того, щоб знайти мажоранту потрібно виконати одну або кілька дій:

а) знайти D(f) функції;

б) знайти E(f) функції;

в) досліджувати функцію на екстремум;

г) якщо функція визначена на відрізку, знайти найбільше та найменше значення;

д) застосувати відомі опорні нерівності.