Тейлор (1685-1731) – англійський математик
Лекція 9. Теорема Тейлора. Формула Тейлора.
9.1. Формула Тейлора.
Тейлор (1685-1731) – англійський математик
Теорема Тейлора.1)Нехай функціяf(x) має в точці х = а та деякої її околиці похідні порядку до (n+1) включно.< Тобто. і всі попередні до порядкуnфункції та їх похідні безперервні і диференційовані в цьому околиці.2) Нехай х- будь-яке значення з цієї околиці, але х а.Тоді між точками х і а знайдеться така точка , що справедлива формула:
- це вираз називаєтьсяформулою Тейлора, а вираз:
називаєтьсязалишковим членом у формі Лагранжа.Доказ.Представимо функцію f(x) у вигляді деякого многочлена Pn(x), значення якого в точці х = а дорівнює значенню функції f(x), а значення його похідних дорівнює значенням відповідних похідних функції у точці х = а. (1) Многочлен Pn(x) буде близьким до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближчі значення багаточлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію.
Представимо цей багаточлен з невизначеними поки що коефіцієнтами:
(2)
Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні багаточлена в точці х = а і складаємо систему рівнянь:
(3) Рішення цієї системи при х = а не викликає труднощів, отримуємо:
Підставляючи отримані значення Ci формулу (2), отримуємо:
Як було зазначено вище, многочлен не точно збігається з функцією f(x), тобто. відрізняється від неї деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді: f(x) = Pn(x) + Rn+1(x) Теорему доведено. Розглянемо докладніше величину Rn+1(x). y Яквидно на малюнку, в
точці х = а значення багато-
f(x) Rn+1(x) з'єднана в точності співпа-
дає значення функції.
Pn(x) Однак, при віддаленні від точ-
ки х = а розбіжність значень збільшується.
Іноді використовується інший запис для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то знайдеться таке число з інтервалу 0 m , тобто. .
Таким чином, ряд Маклорена можна вважати окремим випадком ряду Тейлора.
9.3. Подання деяких елементарних функцій
за формулою Тейлора. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути пов'язане зі значними труднощами, а заміна функції статечним рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій може бути зведено до знаходження значень відповідних многочленів.
Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдено з будь-якою заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумним ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10 - 20 знаків після десяткової точки, потрібна дуже рідко) досить 4-10 членів розкладання в ряд.
Застосування принципу розкладання до ряду дозволяє проводити обчислення на ЕОМ як реального часу, що важливо при вирішенні конкретних технічних завдань.
Функція f(x) = e x .Знаходимо: f(x) = e x , f(0) = 1
f (n) (x) = e x f (n) (0) = 1
Тоді:
Приклад:Знайдемо значення числа е.
В отриманій формулі покладемо х = 1.
Для 8 членів розкладання: e = 2,71827876984127003
Для 10 членів розкладання: e = 2,71828180114638451
Для 100 членів розкладання: e = 2,71828182845904553
На графіку показано значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладання до ряду Тейлора.
Як видно, для досягнення точності, достатньої для вирішення більшості практичних завдань, можна обмежитися 6-7-ма членами ряду.
Функція f(x) = sinx.Отримуємо f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin(x + /2); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
f(n) (x) = sin(x + n/2); f(n) (0) = sin(n/2);
f(n+1) (x) = sin(x+(n+1)/2); f (n+1) () = sin( + (n + 1)/2); Разом:
Функція f(x) = cosx.Для функції cosx, застосувавши аналогічні перетворення, отримаємо:
Функція f(x) = (1 + x) .( - дійсне число)
Тоді:
Якщо в отриманій формулі прийняти = n, де n- натуральне число і f (n +1) (x)=0, то Rn+1 = 0, тоді Вийшла формула, відома якбіном Ньютона.Приклад:Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.
На наведених нижче графіках представлено порівняння точного значення функції та значення розкладання до ряду Тейлора за різної кількості членів розкладання.
Мал. 1. Два члени розкладання
Мал. 2. Чотири члени розкладання
Мал. 3. Шість членів розкладання
Мал. 4. Десять членів розкладання
Щоб отримати найточніше значення функції при найменшій кількості членів розкладання, треба у формулі Тейлора вяк параметравибрати таке число, яке досить близько до значеннях, і значення функції від цього числа легко обчислюється.
Наприклад обчислимо значення sin20 0 .
Попередньо переведемо кут 20 0 у радіани: 20 0 = /9.
Застосуємо розкладання до ряду Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладання:
У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута вказано значення 0,3420.
На графіку показано зміну значень розкладання до ряду Тейлора залежно кількості членів розкладання. Як бачимо, якщо обмежитися трьома членами розкладання, досягається точність до 0,0002.
Вище говорилося, що при х0 функція sinx є нескінченно малою і може при обчисленні замінити на еквівалентну їй нескінченно малу функцію х. Тепер видно, що з х, близьких до нуля, можна майже втрати в точності обмежитися першим членом розкладання, тобто. sinx x.Приклад:Обчислити sin28 0 1315. Для того щоб представити заданий кут у радіанах, скористаємося співвідношеннями: 1 0 = ; 28 0;
1; ;
; ;радЯкщо під час розкладання за формулою Тейлора обмежитися трьома першими членами, отримаємо: sinx = .
Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута,
sin = 0,472869017612759812,
бачимо, що навіть за обмеження всього трьома членами розкладання, точність становила 0,000002, що більш ніж достатньо більшості практичних технічних завдань.
f(x)= ;
Разом:
Отримана формула дозволяє знаходити значення будь-яких логарифмів (не тільки натуральних) з будь-яким ступенем точності. Нижче наведено приклад обчислення натурального логарифму ln1,5. Спочатку отримано точне значення, потім- Розрахунок за отриманою вище формулою, обмежившись п'ятьма членами розкладання. Точність сягає 0,0003. ln1,5 = 0,405465108108164381 Розкладання різних функцій за формулами Тейлора і Маклорена наводиться в спеціальних таблицях, однак, формула Тейлора настільки зручна, що для переважної більшості функцій розкладання може бути легко знайдено безпосередньо.
Нижче будуть розглянуті різні застосування формули Тейлора не тільки до наближених уявлень функцій, але й до вирішення диференціальних рівнянь, а також обчислення інтегралів.
9.5. Застосування диференціала до наближених обчислень.Диференціал функціїy=f(x)залежить від х і є головною частиною прирощення х.
Також можна скористатися формулою
Тоді абсолютна похибка
Докладніше застосування диференціала до наближених обчислень буде описано нижче.