Terver - Стор 8

26. Чи може функція розподілу абсолютно безперервного розподілу мати розриви?

27. Чому для будь-якого x дорівнює P(ξ = x), якщо ξ має абсолютно безперервний розподіл?

28. Як щільність розподілу знаходиться за функцією розподілу?

29. Перерахуйте основні дискретні розподіли. Запишіть таблицю розподілу кожного.

30. Перерахуйте основні абсолютно безперервні розподіли. Запишіть щільність та функцію розподілу кожного. Побудуйте графіки всіх щільностей та функцій розподілу.

31. Як пов'язані функція розподілу нормального закону та функція

32. Як обчислювати ймовірність P(x 1 0,

За функцією спільного розподілу його щільність перебуває як змішана приватна похідна (у точках, де вона існує):

f(x, y) = ∂ 2 F (x, y). ∂x∂y

РОЗДІЛ VI. БАГАТОМІРНІ РОЗПОДІЛИ

Т е о р е м а 23. Якщо випадкові величини ξ і η мають абсолютно безперервний спільний розподіл із щільністю f(x, y), то ξ і η окремо теж мають абсолютно безперервні розподіли із щільностями:

Отже, щоб знайти густини координат вектора, потрібно проінтегрувати густину спільного розподілу по всіх «зайвих» координатах. Ця властивість відразу випливає з властивості (F4) функції спільного розподілу, достатньо рівності ( 14 ) спрямувати до нескінченності змінну x або змінну y.

П р і м е р 51. Навести приклад випадкових величин ξ та η з абсолютно безперервними розподілами таких, що пара ( ξ , η ) не має густини розподілу.

Розв'язання. Нехай ξ U 0, 1 — координата точки, кинутої навмання на відрізок [0, 1], і нехай η = ξ . Тоді пара ( ξ , η ) приймає значення тільки на діагоналі одиничного квадрата, тому щільності розподілу уцієї пари немає. Щоб це показати, знайдемо функцію спільного розподілу:

F ξ (x), якщо x 6 y,

F(x, y) = P(ξ 0 - позитивно

n) , матриця Σ −1 — зворотна до

певна 2 симетрична матриця (n

Транспонований вектор, тобто.

вектор-рядок, ми будемо позначати так:

Кажуть, що вектор ( ξ 1 , . . . , ξ n ) має багатовимірне нормальне распреде-

a, Σ з вектором середніх

a і матрицею підступів Σ, якщо щільність спільного розподілу координат цього вектора дорівнює

f(x 1 , . . . , x n ) = √ 1 √ π n exp n − 1 (

a) у показнику експоненти є квадратичною формою від змінних (x i − a i ) : для матриці B = Σ −1 з елементами b ij отримаємо

b ij (x i - a i) (x j - a j).

2 Матриця позитивно визначена, якщо її власні значення позитивні.

§ 4. Роль спільного розподілу

Щільність, наприклад, двовимірного нормального розподілу має вигляд дзвоноподібної «шапочки», схожої на щільність на рис. 8 , стор . Лінією рівня цієї шапочки, що виходить у перерізі площиною f(x, y) = = const, буде еліпс (

a) = c. Цей еліпс називається еліпсом розсіювання (R n - еліпсоїдом).

По теоремі 23 можна обчислити щільності координат вектора ( 1 , . . , n ) з багатовимірним нормальним розподілом. Величина ξ i має нормальний розподіл N a i , σ 2 i , де σ 2 i = Σ ii - i-й діагональний елемент матриці Σ.

Детально з багатовимірним нормальним розподілом ми познайомимося

у курсі математичної статистики. А сенс заклинань «з середнім вектором

a і матрицею підступів Σ» з'ясується вже скоро.

В окремому випадку, коли матриця Σ діагональна з елементами σ 2 1 . . . , σ 2 n наголовної діагоналі, щільність спільного розподілу перетворюється

у добуток щільностей нормальних випадкових величин:

σ i2 (x i − a i ) 2 o

Скоро ми побачимо, що ця рівність означає незалежність

величин ξ 1 . . . , ξ n .

§ 4. Роль спільного розподілу

Якщо нам відомо спільне розподіл двох чи кількох випадкових величин, стає можливим знайти розподіл суми, різниці, твори, частки, інших функцій від цих випадкових величин.

Наступні три простих приклади показують, що знання лише окремих розподілів двох випадкових величин недостатньо для відшукання, наприклад, розподілу їх суми. Для цього необхідно знати їхній спільний розподіл. Розподіл суми (і будь-якої іншої функції) не визначається, взагалі кажучи, розподілами доданків: при одних і тих же розподілах доданків розподіл суми може бути різним залежно від

спільного розподілу доданків.

П р і м е р 54. У прикладі 51 сума ξ + η = ξ + ξ = 2 ξ має рівномірний розподіл U 0, 2 , а в прикладі 52 сума ξ + η = ξ + 1 − ξ = 1 має вироджений розподіл I 1 , хоча розподіл ξ і η в цих прикладах один і той же - рівномірний на відрізку [0, 1]. Але спільні розподіли різняться, і розподіл суми це відчув.

80 РОЗДІЛ VI. БАГАТОМІРНІ РОЗПОДІЛИ

П р і м е р 55. Нехай має стандартний нормальний розподіл. Візьмемо η = − ξ. Тоді η теж має стандартне нормальне розподіле-

лення, а сума ξ + η = 0 має вироджений розподіл.

Візьмемо тепер η = ξ. Тоді сума ξ + η = 2 ξ має вже не вироджене,

а нормальний розподіл N 0, 4 (перевірити!).

П р і м е р 56. Розглянемо дві випадковівеличини ξ і η з одним і тим самим розподілом Бернуллі з параметром p = 0,5 та наступною таблицею

спільного розподілу: для 0 6 r 6 0,5 покладемо

η = 0 η = 1P( ξ = a i )

Якщо взяти r = 0, то P(ξ + η = 1) = P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) = 1,

т. е. розподіл ξ + η вироджено у точці 1.

Якщо r = 0,5, то P(ξ + η = 0) = P(ξ + η = 2) = 0,5, тобто ξ + η приймає значення 0 і 2 з рівними ймовірностями.

Якщо r = 0,25, то P(ξ + η = 0) = 0,25 = P(ξ + η = 2), P(ξ + η = 1) = 0,5,

тобто ξ + η має біномний розподіл з параметрами 2 і 0,5.

Ще раз відзначимо, що розподіли ξ і η від r не залежать. Розподіл суми змінюється разом із спільним розподілом ξ та η при незмінних приватних розподілах величин ξ та η .

Розподіл функції від кількох випадкових величин визначається їх приватними розподілами, якщо ними визначається спільне розподіл. Для цього достатньо, наприклад, вимагати незалежності цих випадкових величин - коли спільний розподіл виявляється рівним добутку розподілів координат.

§ 5. Незалежність випадкових величин

Визначення 18. Випадкові величини ξ 1 , . . . , ξ n називають незалежними, якщо для будь-яких множин B 1 , . . . , B n має місце рівність:

P(ξ 1 B 1 , . . ., ξ n B n) = P(ξ 1 B 1) · . . . · P (? n B n).

Можна сформулювати зручніше рівносильне визначення.

Визначення 19. Випадкові величини ξ 1 , . . . , n незалежні, якщо функція спільного розподілу розпадається у добуток приватних функцій розподілу, тобто для будь-яких x 1 , . . . , x n має місце рівність:

F (x 1 , . . . , x n ) = F ξ 1 (x 1) · . . . · F ξ n (x n ).

Калькулятор

Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи

Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС

Номер вашої заявки

Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.