Тиждень математики (), Контент-платформа
Старовинні завдання - для розвитку інтересу до математики
Використання під час уроків і позакласних заняттях з математики елементів з її історії сприяє розвитку інтересу в учнів до предмета, і навіть має пізнавальне і виховне значення.
Однак висвітлювати історію розвитку математичних понять, що вивчаються в початкових класах, на уроках неможливо. Йтиметься лише про повідомлення дітям деяких відомостей з історії математики. Одним з ефективних методів проведення такої роботи є рішення на уроках або позакласних заняттяхстаровинних завдань.
Пропонуємо низку завдань, взятих із старовинних українських рукописів та «Арифметики» Л. Магницького. Їхнє рішення вимагає від учнів як математичних знань, а й кмітливості і вміння логічно мислити, шукати нетрадиційні шляхи решения. Крім того, ці завдання дають можливість вчителю проводити невеликі екскурси в історію розвитку математики в Україні, розповідати про упорядників цих завдань, про тих, ким і сьогодні пишається український народ.
У цій статті виклад старовинних завдань, даних у рукописах, дещо скориговано; для більшості завдань запропоновано рішення з використанням сучасної символіки та методики.
Запитав хтось вчителя: «Скажи, скільки в тебе у класі учнів, бо хочу віддати до тебе вчення свого сина». Учитель відповів: «Якщо прийде ще учнів стільки ж, скільки я маю, і півстільки і чверть стільки і твій син, то буде у мене учнів сто». Скільки учнів у класі?
Позначаючи кількість учнів у класі за допомогою відрізка та моделюючи зв'язки та відносини між даними, отримаємо схему:
Зі схеми легко знайти рішення:
Відповідь: у класі36 учнів.
У п'ятьох селян - Івана, Петра, Якова, Михайла та Герасима - було 10 овець. Не могли вони знайти пастуха, щоб пасти овець, і Іван каже іншим: «Будемо, братці, пасти овець по черзі — по стільки днів, скільки кожен з нас має овець». Скільки овець у кожного селянина, якщо відомо, що в Івана вдвічі менше овець, ніж у Петра; у Якова вдвічі менше, ніж у Івана; Михайло має овець вдвічі більше, ніж Яків, а Герасим — у чотири рази менше, ніж Петро?
Для вирішення скористаємося схематичним моделюванням:
10:10 = 1 - було овець у Герасима та Якова;
1 -2 = 2 - було овець у Михайла та Івана;
2-2 = 4 - було овець у Петра.
Відповідь: у Івана – дві вівці, у Петра чотири вівці, у Якова – одна вівця, у Михайла – дві вівці, у Герасима – одна вівця.
Дід каже онукам: «Ось вам 130 горіхів. Розділіть їх на дві частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази». Як поділити горіхи?
Скористаємося схематичною моделлю:
130:13 = 10 (горіхів) - менша частина;
10-4-3 = 120 (горіхів) - більшість.
Відповідь: 10 горіхів, 120 горіхів.
Двоє їли сливи. Один сказав іншому: «Дай мені свої дві сливи, тоді в нас буде слив порівну», — на що інший відповів: «Ні, краще ти дай мені свої дві сливи, — тоді в мене буде вдвічі більше, ніж у тебе». . Скільки слив було в кожного?
Зі схеми видно, що у першого було (2 + 2 + 2 +2)-2 - 2 = 14 (злив), а у другого 14-2-2 = 10 (злив).
Відповідь: 14 слив та 10 слив.Завдання 5
Перехожий, який наздогнав іншого, запитав: «Як далеко до села, яке у нас попереду?» Відповів інший перехожий: «Відстань від того села, від якого ти йдеш, дорівнює третій частині всієї відстані міжселами, а якщо ще пройдеш дві версти (верста — старовинний український захід довжини, 1 верста = 1,067 км), тоді будеш рівно посередині між селами». Скільки верст залишилося ще йти першому перехожому та яка відстань між селами?
Умову завдання висловимо наступною схемою:
2-2-3 = 12 (верст) - відстань між селами;
12-4 = 8 (верст) - залишилося ще йти першому перехожому.
Відповідь: 8 верст, 12 верст.
Послано людину з Москви до Вологди. Наказано йому в ходіння своєму робити щодня по 40 верст. Наступного дня слідом йому послано другу людину і наказано йому проходити щодня по 45 верст. На який день друга людина наздожене першу?
У цьому завдання йдеться про рух навздогін. Зобразимо схемою умову задачі:
45 верст на день 40 верст на день
4 = 5 (верст на день) - швидкість зближення.
Відповідь: на 8-й день друга людина наздожене першу.
Один воїн вийшов із міста і проходив по 12 верст на день, а інший вийшов одночасно і йшов таким чином: першого дня пройшов 1 версту, другого — 2 версти, третього — 3 версти, четвертого — 4 версти, пятого — 5 верст і так додавав щодня по одній версті, доки не наздогнав першого. Через скільки днів другий воїн наздожене першого?
На 12-й день швидкість другого воїна дорівнюватиме швидкості першого, тобто 12 верст на день. За ці 12 днів перший пройде:
12 * 12 = 144 (версти), а другий 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11 + 12 = 78 (верст), між ними буде = 66 (верст).
Потім відстань між ними почне скорочуватися: на 1 версту на 13-й день, на 2 версти на 14-й день і т. д., поки не стане нульовою: 0-11=0
З останньої рівності видно, що другий воїн покриє різницю 66 верст за 11 днів.Тому другий воїн досягне першого за 12+11 = 23 (дня).
Відповідь: на 23 день.
Пропонуємо ще деякі «життєві історії» з тих самих старовинних рукописів та «Арифметики» Л. Магницького.
У спекотний день 6 косців випили барило квасу за 8 годин. Потрібно дізнатися, скільки косців за 4 години вип'ють таку ж барило квасу.
Це завдання можна вирішити двома способами: методом приведення до одиниці або ґрунтуючись на взаємозворотній пропорційності між величинами.
8 * 6 = 48 (годин) - вип'є барило квасу 1 косець;
48:4 = 12 (кісців) - вип'ють барило квасу за 4 години.
Якщо кількість годин скоротилася в 8:4 = 2 (рази), то кількість косців, які вип'ють таку ж барило квасу, зросте в 2 рази, тобто 6-2 = 12 (кісців).
Прийшов селянин на базар і приніс козуб яєць. Торговці його запитали: "Чи багато в тебе в кошичку яєць?" Селянин мовив так: «Я всього не пам'ятаю на список, скільки в тому кошичку яєць. Тільки пам'ятаю: перекладав я ті яйця в козуб по 2 яйця, то одне яйце зайве залишилося на землі; і я клав у козуб по 3 яйця, то одне ж яйце залишилося; і я клав по 5 яєць, те ж яйце залишилося; і я їх клав по 6 яєць, те ж яйце залишилося; і я клав їх по 7, то жодного не лишилося». Вважай мені, скільки в тому кошичку яєць було?
З умови знаємо, що невідоме число при розподілі на 2, або на 3, або на 4, або на 5, або на 6 дає залишок 1. Якщо число, що шукається, зменшити на одиницю, то воно буде ділитися на всі ці числа без залишку, таке число може бути отримано добутком цих чисел:
720+ 1 =721 і це число ділиться на 7 без залишку, а при розподілі на 2, 3, 4, 5, 6 дає залишок 1.
Відповідь: 721 (є й інші відповіді).
Господар найняв працівника на рік і обіцяв йому дати 12 рублів такаптан. Але той, пропрацювавши лише 7 місяців, захотів піти. Під час розрахунку він отримав каптан і 5 рублів. Скільки коштує каптан?
За рік працівник має отримати 12 грн. і каптан, т. е. за кожен опрацьований місяць йому повинні нараховувати 1 р. та j^ вартості каптана. За 7 місяців - 7 р. та Д вартості каптана, а отримав 5 р. та каптан. Отже, 2 вартості каптана відповідають двом рублів.
Таким чином, ціна каптана була:
2 :V2=2j512 = ¥ = 4 5 (Р->> або 4 Р - 80 к-
Працівник недоопрацював у господаря 5 місяців і недоотримав 7 р. Значить, місячна його плата в грошах складає Z р. або 1 р. 40 к. Плата за 7 місяців складе 7-2 = 9 р., або 9 р. 80 к. Але працівник за цей час одержав 5 нар. та каптан. Значить, каптан коштує 4 р. 80 к.
3 курчата і 2 гусенята коштують 99 к., а 5 курчат і 4 гусенята коштують 1 р. 83 к. Скільки коштує 1 курча та 1 гусеня окремо?
Якщо 3 курчати і 2 гусенята коштують 99 к., то 6 курчат і 4 гусенята коштують 198 к.
З умови завдання знаємо, що 5 курчат і 4 гусенята коштують 183 к.
Аналізуючи ці дані, помічаємо, що 6-5=1 (курча) і він стоїть = 15 (к.)
Підставна вартість одного курчати в першій частині умови завдання, легко знаходимо вартість одного гусеня • 3): 2 = 27 (к.)
Відповідь: 15 к. коштує 1 курча, 27 к. коштує 1 гусеня.
Пропонуємо ще одне завдання на змішування речовин та старовинний спосіб її вирішення.
У деякої людини були продажні олії: одна ціна 10 гривень (1 гривня = 10 к.) за відро, інша ж 6 гривень за відро. Захотілося йому зробити з цих двох олій, змішавши їх, олію ціною 7 гривень за цебро. Які частини цих двох олій потрібно взяти, щоб одержати відро олії вартістю 7 гривень?
Друг під одним пишуться вартостінаявних масел, ліворуч від них і приблизно посередині — вартість олії, яка має вийти після змішування. Поєднавши написані числа рисками, отримаємо:
Найменшу ціну віднімемо з ціни змішаного масла і результат поставимо праворуч від більшої ціни. Потім з більшої ціни віднімемо ціну змішаного масла і те, що вийде, напишемо праворуч від меншої ціни. Отримаємо:
Робимо висновок, що дешевої олії потрібно взяти втричі більше, ніж дорогої, тобто для отримання 1 відра олії ціною 7 гривень потрібно взяти дорогої олії відра, а дешевого 4 відра.
Відповідь: i відра дорогої олії; 4 дешевої олії.
Досвід показує, що використання старовинних завдань на уроках та позакласних заняттях з математики в початкових класах викликає великий інтерес, пробуджує дітей до самостійних мисленнєвих дій, тобто до прояву творчості у пошуку рішення.
Ознайомлення дітей з наведеними завданнями на курсах підвищення кваліфікації дозволяє нам зробити висновок про те, що вони потребують не тільки способів їх вирішення, а й відповідних історичних довідок про укладачів цих захоплюючих завдань. Такі історичні довідки можна скласти, використавши літературу:
Використаний список літератури:
Виготський та алгебра в стародавньому світі. - М., 1967.
Глейзер математики в школі, IV-VI класи: Посібник для вчителів. - М., 1981.
Депман арифметики: Посібник для вчителя. - М., 1959.
Денисов Леонтій Пилипович (). - М, 1967.
, .Потапов цікаві завдання. - М., 1985.
Рибніков математики. Т. 1.2. - М., 1960,1963.
Симонов ідея Стародавньої Русі. - М., 1977.
Чистя в задачі з елементарної математики. - Мінськ, 1966.