Траєкторія, довжина колії, вектор переміщення
Механіка - частина фізики, яка вивчає закономірності механічного руху та причини, що викликають або змінюють цей рух. Механічне рух — це зміна з часом взаємного розташування тіл чи його частин.
Розвиток механіки як науки починається з ІІІ ст. до зв. е., коли давньогрецький вчений Архімед (287-212 до н. е.) сформулював закон рівноваги важеля та закони рівноваги плаваючих тіл. Основні закони механіки встановлені італійським фізиком та астрономом Г. Галілеєм (1564—1642) та остаточно сформульовані англійським ученим І. Ньютоном (1643—1727).
Механіка Галілея-Ньютона називається класичною механікою. У ній вивчаються закони руху макроскопічних тіл, швидкості яких малі порівняно зі швидкістю світла у вакуумі. Закони руху макроскопічних тіл зі швидкостями, порівнянними зі швидкістюс,, вивчаються релятивістською механікою, заснованою на спеціальній теорії відносності, сформульованої А. Ейнштейном (1879—1955). Для опису руху мікроскопічних тіл (окремі атоми та елементарні частинки) закони класичної механіки не застосовуються - вони замінюються законами квантової механіки.
У першій частині нашого курсу ми вивчатимемо механіку Галілея-Ньютона, тобто розглядати рух макроскопічних тіл зі швидкостями, значно меншими за швидкість с. У класичній механіці загальноприйнята концепція простору та часу, розроблена І. Ньютоном і яка панувала в природознавстві протягом XVII-XIX ст. Механіка Галілея-Ньютона розглядає простір і час як об'єктивні форми існування матерії, але у відриві один від одного та від руху матеріальних тіл, що відповідало рівню знань того часу.
Механіка поділяється на три розділи: 1) кінематику; 2) динаміку; 3) статику.
Кінематика вивчає рух тіл, не розглядаючи причини, що цей рух обумовлюють.
Динаміка вивчає закони руху тіл та причини, які викликають або змінюють цей рух.
Статика вивчає закони рівноваги системи тел. Якщо відомі закони руху тіл, то їх можна встановити і закони рівноваги. Тому закони статики окремо від законів динаміки фізика не розглядає.
Механіка для опису руху тіл в залежності від умов конкретних завдань використовує різні фізичні моделі. Найпростішою моделлю є матеріальна точка - тіло, що володіє масою, розмірами якого в даному задачі можна знехтувати. Поняття матеріальної точки є абстрактним, але його введення полегшує вирішення практичних завдань. Наприклад, вивчаючи рух планет по орбітах навколо Сонця, можна прийняти за матеріальні точки.
Довільне макроскопічне тіло чи систему тіл можна подумки розбити на малі частини, що взаємодіють між собою, кожна з яких розглядається як матеріальна точка. Тоді вивчення руху довільної системи тіл зводиться вивчення системи матеріальних точок. У механіці спочатку вивчають рух однієї матеріальної точки, та був переходять до вивчення руху системи матеріальних точок.
Під впливом тіл одне на одного тіла можуть деформуватися, тобто змінювати свою форму та розміри. Тому в механіці вводиться ще одна модель абсолютно тверде тіло. Абсолютно твердим тілом називається тіло, яке за жодних умов не може деформуватися і за всіх умов відстань між двома точками (або точніше між двома частинками) цього тіла залишається постійною.
Будь-який рух твердого тіла можна як комбінацію поступального і обертального рухів. Поступальнерух - це рух, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом, що рухається, залишається паралельною своєму початковому положенню. Обертальний рух - це рух, при якому всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на одній і тій же прямій, званій віссю обертання.
Рух тіл відбувається у просторі та у часі. Тому для опису руху матеріальної точки треба знати, в яких місцях простору ця точка знаходилася і в які часи вона проходила те чи інше положення.
Положення матеріальної точки визначається стосовно будь-якого іншого, довільно обраного тіла, званого тілом відліку. З ним пов'язується система відліку — сукупність системи координат і годинника, пов'язаного з тілом від рахунку. У декартовій системі координат, що найчастіше використовується, положення точкиАв даний момент часу по відношенню до цієї системи характеризується трьома координатамиx,yuzабо радіусом-векторомг,проведеним із початку системи координат у цю точку (рис. 1).
При русі матеріальної точки її координати з часом змінюються. У загальному випадку її рух визначається скалярними рівняннями.
Рівняння (1.1) та відповідно (1.2) називаються кінематичними рівняннями руху матеріальної точки.
Число незалежних координат, що повністю визначають положення точки в просторі, називається числом ступенів свободи. Якщо матеріальна точка вільно рухається в просторі, то, як уже було сказано, вона має три ступені ступені свободи, якщо вздовж деякої лінії, то одним ступенем свободи.
Виключаючиtу рівняннях (1.1) і (1.2), отримаємо рівняння траєкторії руху матеріальної точки. Траєкторія руху матеріальноготочки - лінія, що описується цією точкою в просторі. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним чи криволінійним.
Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної траєкторії (рис. 2). Відлік часу почнемо з моменту, коли точка перебувала в положенніА.Довжина ділянки траєкторіїАВ,пройденої матеріальною точкою з початку відліку часу, називається довжиною шляху aj і єскалярною функцієючасу: Ds = Ds(t).ВекторDr = r - r0, проведений з початкового положення точки, що рухається, в положення її в даний момент часу (приріст радіуса-вектора точки за аналізований проміжок часу), називається переміщенням.
При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною ділянкою траєкторії і модуль переміщення Dr дорівнює пройденому шляху Ds.
Швидкість
Для характеристики руху матеріальної точки вводиться векторна величина - швидкість, якою визначається якшвидкістьруху, так і йогонапрямокв даний момент часу.
Нехай матеріальна точка рухається якоюсь криволінійною траєкторією так, що в момент часуtїй відповідає радіус-вектор г0 (рис. 3). Протягом малого проміжку часу Dt точка пройде шлях Ds та отримає елементарне (нескінченно мале) переміщення Dг.
Вектор середньої швидкості називається відношення збільшення Dг радіуса-вектора точки до проміжку часу Dt:
Напрямок вектора середньої швидкості збігається із напрямком Dг. При необмеженому зменшенні Dt середня швидкість прагне граничного значення, яке називається миттєвою швидкістю v:
Миттєва швидкість v, таким чином, є векторна величина, що дорівнює першій похіднійрадіус-вектор рухається точки за часом. Оскільки січна збігається з дотичною, вектор швидкості v направлений по дотичній до траєкторії в бік руху (рис. 3). У міру зменшення Dt шлях Ds все більше наближатиметься до Dг, тому модуль миттєвої швидкості
Таким чином, модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху за часом:
(2.2)
При нерівномірному русі модуль миттєвої швидкості з часом змінюється. В даному випадку користуються скалярною величиною – середньою швидкістю нерівномірного руху:
З рис. 3 випливає, що > , так як Ds >Dг, і тільки у разі прямолінійного руху
Якщо виразds=vdt(див. формулу (2.2)) проінтегрувати за часом у межах відtдоt+Dt, то знайдемо довжину шляху, пройденого точкою за час Dt:
У разі рівномірного руху числове значення миттєвої швидкості постійно; тоді вираз (2.3) набуде вигляду
Довжина шляху, пройденого точкою за проміжок часу відt\до fa, дається інтегралом