Тригонометричні та гіперболічні підстановки
Розглянемо інтеграли виду , де R – раціональна функція. Тобто функція, складена зі своїх аргументів та довільних постійних за допомогою кінцевого числа операцій складання, множення та поділу. Такі інтеграли зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою тригонометричних та гіперболічних підстановок. У ряді випадків такий метод обчислення інтегралів є найпростішим.
Попередні перетворення
Для застосування тригонометричних та гіперболічних підстановок, потрібно привести квадратний двочлен до суми або різниці квадратів, виконуючи наступне перетворення:
Після чого підстановкою , залежно від значень постійних p, q, r, інтеграл наводиться до одного з трьох видів: ; ; .
Далі ми вважаємо, що a > 0 .
Тригонометричні та гіперболічні підстановки
Суть методу полягає в тому, щоб застосовуючи формули: , , звести квадратний корінь до раціональних тригонометричних або гіперболічних функцій. І тим самим, весь підінтегральний вираз буде раціональною тригонометричною або гіперболічною функцією. Методи обчислення таких інтегралів наведено на сторінці Інтегрування тригонометричних раціональних функцій > > >.
Іноді такі підстановки призводять до більш коротких обчислень, ніж інші методи.
Нижче наводяться формули для основних тригонометричних та гіперболічних підстановок. Для застосування важливо пам'ятати, що квадратний корінь має невід'ємне значення. Тому, наприклад, . Якщо , ми пишемо: . Для позитивних значень t ми вибираємо верхній знак ( у цьому прикладі +). Для негативних - нижній знак ( '-').
Також згадаємо ще таку обставину. Деякі підстановки охоплюють в повному обсязі значення області визначення змінної інтегрування x . Наприклад, підстановка x = a ch t, a > 0, t ≥ 0 дає значення інтеграла при x ≥ a. Щоб отримати значення інтеграла при x ≤ – a потрібно зробити другу підстановку x = – a ch t, t ≥ 0 . Разом ці підстановки можна записати як: x = ± a ch t . Тоді у всіх наступних формулах верхній знак ставитиметься до позитивних x, а нижній – до негативних.
1. Інтеграли з коренем з a 2 – x 2
Розглянемо інтеграл: , a > 0 .