Трикутник АВС
Трикутник АВС задано координатами вершин А(6; -16), В(-11; -50), С(14,5; -33). Знайти рівняння сторони АВ, бісектриси АЕ, медіани ВК, висоти АD та її довжину, площу трикутника і кут між бісектрисою та медіаною.
Лучший ответ
1) Уравнения стороны AB треугольника. Даны три вершины треугольника A(6;-16), B(-11;-50) , поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac = \frac \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(6;-16), B(-11;-50) $$ AB \quad \frac = \frac => y = 2x - 28$$Ответ : уравнение стороны \(AB\): \(y = 2x - 28\)
для следующих расчетов нам понадобитсяуравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(-11;-50) и C(14.5;-33) $$BС \quad \frac = \frac => y = \fracx - \frac$$уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(6;-16) и C(14.5;-33) $$AС \quad \frac = \frac => y = -2x -4$$
2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\). Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки A(6;-16) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_ = \frac\), получим \(k_ = -\frac> = -\frac\). Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad(2)$$ отримаємо $$ y + 16 = -\frac(x - 6) => y = -\fracx - 7$$Відповідь : рівняння висоти \(y = -\fracx - 7 \)
3) Довжина висоти AD Знайдемо відстань від точки до прямої, яка розраховується за формулою \(d = \frac> \), де \((x_0;y_0)\) - координати точки, а \(Ax_0+By_0+C =0\) - загальне рівняння прямої, відстань до якої шукається. наводимо рівняння прямої \(BC\) до загального вигляду \( y = \fracx - \frac => - 2x +3y +128 =0\), де \(A =-2\), \(B = 3\), координати точки А(6;-16) = gt; \(x_0=6;y_0=-16\) підставляємо у формулу $$d = \frac> = \frac> \approx 18,86$$Відповідь : довжина висоти \(AD\) дорівнює \(AD = \frac> \approx 18,86\)
4) Рівняння медіани BK трикутника \(ΔАВС\), яка проходить через вершину \(B\) Для знаходження медіани BM є координата однієї точки B(-11;-50), а координати другої точки прямої \(K\) знайдемо як координати середини відрізка \(AC\) при відомих координатах A(6;-16), C(14.5;-33) за формулою \( M(\frac;\frac)\) = > \( K(\frac;\frac) \) => \(K(10.25; -24.5) \) Знаходимо рівняння прямої \(BK\) за формулою рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \(B(-11;-50)\) і \(K(10.25) -24.5)\) рівняння (1)$$ \frac=\frac => y = \fracx - \frac$$Відповідь : рівняння медіани BK \( y = \fracx - \frac \)
5) Площа трикутника Площу трикутника будемо шукати за формулою \(S = \fracah\). Довжина висоти вже відома див. п. 3) \(h = AD = \frac> \approx 18,86\). Необхідно знайти довжину сторони (BC) як відстань між точками B(-11;-50) і C(14.5;-33). Відстань між точками знаходиться за формулою Піфагора \(a = \sqrt\), отримуємо $$a = \sqrt \approx 30.65$$ підставляємо у формулу площі трикутника $$S_ = \fracah = \frac 30.65*18.86 \approx289.06$$Відповідь : площа трикутника дорівнює \(S_ \approx 289.06\)
6) Рівняння бісектриси AE Скористаємося властивістю бісектриси кута: відстань від точки бісектриси до сторін кута рівні. Нехай точка з координатами (x;y) належить бісектрисі, тоді відстань від цієї точки до сторони кута (сторони трикутника) розраховується за формулою: відстань від точки до прямої \(d = \frac> \) Знайдемо відстань від цієї точки до прямих a)AB. Отримаємо загальне рівняння прямої AB \(y = 2x - 28 => 2x - y - 28 =0\), де \(A=2;B=-1\), тоді відстань від точки (x;y) до цієї прямий дорівнюватиме \(d_1 = \frac>= \frac>\) b)AC. Отримаємо загальне рівняння прямої AC \(y = -2x - 4 => 2x + y + 4 =0\), де \(A=2;B=1\), тоді відстань від точки (x;y) до цієї прямий дорівнюватиме \(d_2 = \frac>= \frac>\) c) Відповідно до властивості бісектриси кута, відстані рівні \(d_1=d_2\) . Прирівняємо їх $$\frac> = \frac> => 2x - y - 28 =2x + y + 4 $$ Потрібно відкрити модуль. При розкритті модуля необхідно розглянути 4 випадки, але вони попарно дадуть однакові відповіді, тому розглянемо 2 випадки. Нехай \(2x - y - 28 > 0 ; 2x + y + 4 > 0\), тоді отримуємо \(2x - y - 28 = 2x + y + 4 => y = -16\) Нехай \(2x - y - 28 0; 2x + y + 4x = 6\) Отримали дві бісектриси. (бісектриси суміжних кутів двох прямих, що перетинаються). Вибираємо потрібну, дивимось на малюнок. Це буде \(x = 6\)Відповідь : рівняння бісектриси AE: \(x=6\)
7) Кут між бісектрисою та медіаною. У даному випадку кут між бісектрисою та віссю Ox дорівнює \(90^0\), а кут між медіаною та позитивним напрямком осі Ox дорівнює \(\alpha = arctg(k_)\), де \(k_m = \frac\) - кутовий коефіцієнт рівняння медіани \(y =\fracx - \frac\),тогда получаем \(\alpha = arctg(\frac) \approx 50^0 \), тогда угол между прямыми равен \(90^0 - 50^0 \approx 40^0\)Ответ: угол между медианой и биссектрисой равен \(40^0\)
8) Строим рисунок
