Універсальна алгебра
Універсальна алгебра- розділ математики, що вивчає загальні властивості алгебраїчних систем, відшукуючи спільні риси між такими алгебраїчними конструкціями, як групи, кільця, модулі, решітки, вводячи притаманні їм всім поняття та загальні для всіх них твердження та результати. Є розділом, що займає проміжне положення між математичною логікою та загальною алгеброю як реалізуючий апарат математичної логіки у застосуванні до загальноалгебраїчних структур.
Зміст
Наступним кроком до створення універсальної алгебри як розділу математики відзначаються роботи Альфреда Тарського з теорії моделей і Кендзіро Сєди з алгебр з бінарними операціями, а також роботи Леона Генкіна [5] , Анатолія Мальцева [6] , Абрахама Робінсона [7] , Б'ярні Bjarni Jónsson) [8], що звернули увагу на ефективність застосування апарату математичної логіки, що використовується в рамках теорії моделей, що будується в ті роки, до дослідження алгебраїчних систем як структур, узагальнюючих моделі та алгебри. При цьому, робота Мальцева 1941 [9] відзначена як передбачає логічний підхід до універсальної алгебри, але не отримала відгуків і своєчасного розвитку через війну, а лекція Тарського на Міжнародному конгресі математиків в 1950 - як відправна точка для другого періоду розвитку розділу [10].
З кінця 1950-х років розвиток отримав напрямок, що досліджує вільні алгебри, насамперед завдяки роботам Едварда Марчевського і серії з більш ніж п'ятдесяти статей польських математиків у цьому напрямі [11] . У середині 1950-х років Філіпом Хіггінсом введено та вивчено мультиоператорні групи [12] [13] як структури, в яких може бути узагальнено поняття комутанта і всяка конгруенція представляється розкладанням насуміжні класи за ідеалами (за аналогією з відповідними властивостями нормальної підгрупи та двостороннього ідеалу кільця), пізніше також вивчені спеціальні класи мультиоператорних груп (мультіоператорні кільця та алгебри).
З початку 1960-х років розвивається теорія квазимного образів і питання їх зв'язку з аксіоматизованим класами алгебраїчних систем (Мальцев, Горбунов), найбільш бурхливим напрямом початку - середини 1970-х років стали дослідження різноманітних конгруенцій (Б'ярні Йоунссон, Гретцер.
У другій половині 1970-х років виникли додатки універсальної алгебри в інформатиці — теорії абстрактних типів даних, теорії систем управління базами даних [15] , додатки переважно будуються навколо поняття багатосортних алгебр. Серед основних напрямів, що найактивніше розвивалися у 1980-ті — 1990-ті роки [16] — теорія квазимногообразів, теорія комутаторів для різноманітностей конгруенцій, теорія природної двоїстості (англ. natural duality theory). У 2000-ті роки набув інтенсивного розвитку окремий напрямок — універсальна алгебраїчна геометрія, що узагальнює класичну алгебраїчну геометрію, що працює з алгебраїчними полями, на ширші класи алгебраїчних систем [17] .
У цю абстракцію вписуються всі базові загальноалгебраїчні структури, наприклад частково впорядковане безліч - реляційна система, наділена бінарним ставленням часткового порядку, а група - алгебра, забезпечена нульарною операцією [20] , що виділяє нейтральний елемент, операцією унарної отримання зворотного елемента і бінарної.
Для алгебраїчних систем вводяться конструкції, характерні для всіх базових загальноалгебраїчних структур:підсистема(подалгебра,підмодель), якпідмножина носія системи, замкнута щодо всіх операцій і відносин,гомоморфізмусистем, як відображення між системами одного типу, що зберігає основні операції та відносини,ізоморфізму, як оборотного гомоморфізму,автоморфізмуяк ізоморфізм на себе. Введення поняттяконгруенціїяк стабільного відношення еквівалентності на системі дозволяє побудувати таку конструкцію, якфакторсистему(факторалгебру,фактормодель) - систему над класами еквівалентності . При цьому доведено загальну для всіх алгебраїчних систем теорему про гомоморфізм, що стверджує, що для будь-якого гомоморфізму φ : A ( A , Σ ) → A ' ( A ' , Σ ) (A,\;\Sigma )\ to '(A',\;\Sigma )> природне відображення факторсистеми ядерної конгуренції A / < ( x , y ) ∈ A × A ' ∣ φ ( x ) = φ ( y ) >/\> в A ′ '> є гомоморфізмом, а у разі алгебр – ізоморфізмом.
Різноманітність алгебраїчних систем (абоекваціональний клас) — клас алгебраїчних систем фіксованої сигнатури, що аксіоматизується набором тотожностей, виражених у термах сигнатури, це поняття узагальнює такі спеціальні аксіоматично задані класи алгебр, як клас всіх груп, всіх кілець. Підставою для вивчення такої узагальненої конструкції як різноманіття є теорема Біркгофа, яка стверджує, що для аксіоматизованості тотожності непустого класу алгебраїчних систем K > необхідно і достатньо, щоб він містив:
Третя умова еквівалентної замкнутості щодо фактор-систем.
У дослідженнях з універсальної алгебри докладно вивчені структурні властивості різноманіття, питання занурюваності систем одного різноманіття до системи іншого. Зокрема, встановлено, що ґрати всіх різноманітностейрешіток дистрибутивна і має потужність континууму, а грати всіх різноманіття груп модулярна, але дистрибутивною не є.
Додатково до різноманіттям вивчені такі більш загальні класи систем, як передбагатоманіття (реплічно повні класи) — класи, замкнуті щодо подалгебр і декартових творів, що містять одноелементну систему і квазимногообразия — класи, аксіоматизовані замість набору тотожност Хорна).