УПРАВЛІННЯ ПРОСТОРОВІМРОЗВОРОТОМ КОСМІЧНОГО АПАРАТУ З МІНІМАЛЬНИМ ЗНАЧЕННЯМ ФУНКЦІОНАЛУ
Ціна:
Автори роботи:
Науковий журнал:
Рік виходу:
Текст наукової статті на тему «УПРАВЛІННЯ ПРОСТОРОВІ РОЗВОРОТОМ КОСМІЧНОГО АПАРАТУ З МІНІМАЛЬНИМ ЗНАЧЕННЯМ ФУНКЦІОНАЛУ ШЛЯХУ»
КОСМІЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ, 2007, том 45, № 3, с. 250-263
УПРАВЛІННЯ ПРОСТОРОВІ РОЗВОРОТОМ КОСМІЧНОГО АПАРАТУ З МІНІМАЛЬНИМ ЗНАЧЕННЯМ
Розглядається завдання оптимального управління просторовою переорієнтацією космічного апарату (КА) із мінімальним значенням функціоналу шляху. Використовуючи метод кватерніонів, отримано аналітичне рішення поставленого завдання. Для симетричного показника оптимальності представлено повне розв'язання задачі переорієнтації КА у замкнутій формі. Наводяться результати математичного моделювання динаміки руху КА, які демонструють практичну ефективність розробленого алгоритму управління.
У цій статті вирішується завдання приведення космічного апарату у положення заданої орієнтації. Спосіб вирішення та формалізація опису кінематики обертального руху КА ґрунтуються на методі кватерніонів, запропонованому в монографії [1].
Під просторовим розворотом розуміється переклад пов'язаних з корпусом КА осей ОXYZ з одного відомого кутового положення в інше відоме (зазвичай задане) кутове положення за кінцевий час Т. У цьому випадку параметри розвороту (наприклад, компоненти розвороту кватерніону) відомі заздалегідь, ще до початку маневру; вихідні кутові неузгодженості можуть бути будь-якими (від кількох до 180 градусів). При цьому кутова орієнтація правої системи координат ОXYZ (як її початкове ОXНYНZн і кінцеве ОХКУ¥2К положення) визначається щодо обраного опорного базису I. У роботі розглядається найбільшпоширений випадок, коли опорним є інерційний базис ОXІYІZІ (позов). У зв'язку з цим досліджується питання оптимізації термінального управління, що забезпечує кінцевий час Т суміщення пов'язаної з корпусом КА правої системи координат ОXYZ з програмним базисом, положення якого в інерційному просторі задано.
Дослідженню завдання оптимального управління переорієнтацією твердого тіла у різних постановках присвячено безліч публікацій [1-7, 12]. Зокрема, у [4] розглядаються питання оптимального розвороту КА щодо швидкодії та мінімуму енергетичних витрат. Рішення було отримано для випадку, коли область допустимих значень керуючого моменту ограни-
чена сферою, а сам КА розгортається навколо вектора кінцевого повороту. У статті [5] оптимальні управління знаходилися методом суміщеного синтезу на основі алгоритму з моделлю, що прогнозує, причому мінімізувався функціонал узагальненої роботи. Аналітичне конструювання за критерієм узагальненої роботи (АКор) є досить універсальним засобом вирішення завдань оптимального управління. Однак, оптимізація по АКОР не дозволяє забезпечити виконання обмежень, що накладаються на змінні, що управляють. Крім того, метод АКОР застосовується тільки при відносно невеликих початкових кутових відхиленнях [2]. Непридатність АКОР для випадку довільних початкових кутових відхилень є його істотним недоліком.
ного просторового становища в інше. Вивчається загальний випадок, коли пройдений "шлях" не збігається з кутом кінцевого повороту, що відбувається навколо осі Ейлера.
1. РІВНЯННЯ РУХУ І ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Кутовий рух КА як твердого тіла описується динамічними рівняннями Ейлера: J1 ю? + - J2)w2ю3 = Мъ J2®2 + (А - J3)w1w3 = М2,
J3 ю3 + (]2 - J1)ю1ю2 = М3, де Ji - головні центральні моменти інерції апарату, Мг - проекції головного моменту зовнішніх і внутрішніх сил на головні центральні осі еліпсоїда інерції апарату, ( - проекції вектора абсолютної кутової швидкості КА на осі пов'язаного базису Е, утвореного головними центральними осями еліпсоїда інерції апарату (г = 1, 2, 3).
Для опису просторового руху КА використовуємо математичний апарат кватерніонів (параметрів Родріга-Гамільтона). Рух пов'язаного базису Е щодо опорного базису I задаватимемо кватерніоном Л [1]. Кутове положення початкової та кінцевої орієнтацій КА щодо опорного базису I визначається кватерніонами ЛН та ЛК відповідно. Для визначеності вважатимемо базис I інерційним. У цьому випадку мають місце такі кінематичні рівняння:
2 Аю = - А? (1 - А2ю2 - А3ю3,
2 А1 = А0 + А2ю3 - А3ю2, 2 А2 = А0 ю2 + А3ю1 - А1ю3, 2 А3 = А0 ю3 + А1Ю2 -
або в кватерніонній формі: 2Л = Л ° ю, де А-компоненти кватерніону Л (= 0, 1, 2, 3), Л = = sqal Л + vect Л [1, с. 11-20], sqal Л = А0 – скалярна частина кватерніону Л; vect Л = Ахех + А3е3 - векторна частина кватерніону Л; ех, е2, е3 - орти осей
пов'язаного базису Е, причому А0 + А2 + А2 + А2 = 1.
В умовах космічного польоту особливість управління рухом КА полягає в дещиці моментів, що обурюють, зумовлених взаємодією апарату із зовнішніми полями і опором середовища. Управління рухом КА щодо його центру мас здійснюється шляхом зміни моменту зовнішніх сил М (або внутрішнього моменту, якщо керування орієнтацією КА здійснюється з використанням інерційних виконавчих органів – силових гіроскопів).
Задамо граничні умови положення КА та його кутовийшвидкості:
та ю(0) = ю0; ю(Т) = ют, де Т – час закінчення процесу переорієнтації.
Практичне значення мають завдання, у яких граничні значення ю0 = ют = 0, а кватерніони Лн і ЛК, що задають орієнтацію пов'язаних з КА осей у початковий та кінцевий моменти часу, мають довільні значення.
Для оцінки ефективності управління вводиться функціонал, що оптимізується. Візьмемо як показник оптимальності "функціонал шляху":
де ^ > 0, ^ > 0, ^ > 0 – постійні коефіцієнти.
Завдання оптимального управління просторовим розворотом сформулюємо наступним чином: необхідно перевести КА відповідно до рівнянь (1) зі стану (2) до стану (3) з мінімальним значенням функціоналу (4).
При розвороті КА за критерієм (4) обмеження на момент М і час Т принципового значення не мають.
ментарних поворотів ТАК® = 1, М). Відповідно, і "трудність" розвороту з Лн в ЛК може
час досягнення кінцевого становища ЛК. Даний підхід справедливий лише в окремому випадку, коли витрати ресурсів на повороти КА навколо осей X, Y, Z однакові. Однак, у практичних завданнях "трудомісткість" (витратність) поворотів на той самий кут навколо різних осей КА різна. Врахування неоднаковості осей X, Y, Z (в сенсі трудомісткості) проводиться введенням в функціонал масштабних коефіцієнтів, що оптимізується.
відповідних осях X, Y, ^ У загальному випадку "трудність" подолання повороту твердого тіла на елементарний кватерніон ДЛ формалізу-
ється величиною d0 = ^/к?®
му критерій оптимальності матиме вигляд
Послідовність елементарних поворотів ДЛ(1) ДЛ(2), . ДЛ®, . ДЛ(М), що приводить КА з
положення ЛН в положення ЛК, що визначає значення функціоналу (4) незалежновід величини ю кутової швидкості кожному з ділянок АЛ® .
ЛР = Лн ° ЛК = АЛ (1) про АЛ (2) про. про АЛ(k) про . про АЛ(М).
Введення інтегрального показника (4) дозволяє і проблему залежності "складності" (або "витратності") маневру переорієнтації від його тривалості Т. Розглянемо це положення. Нехай для повідомлення КА кутовий скоро-
2 2 ■ к2ю2 + ю3к3
стію потрібно витратити „к^ю
ресурсу. У цьому скоєння маневру переорієнтації з ЛН в ЛК знадобиться час Тк. Очевидно, якщо повідомити КА швидкість в N разів більшу за величиною, то тривалість маневру зменшиться в N разів, але це спричинить і збільшення "витрат" в N разів (величина
сил (вираз (4) не містить складових М). Керуючими змінними (управліннями) вважатимемо проекції кутової швидкості
ю, (I = 1, 3). Вид функціоналу (4) - це окремий випадок компромісу двох стандартних форм типового функціоналу - узагальненої виваженої роботи управлінь та "витрати" управлінь [8].
Позначимо ds = / к1Ю [+ к2ю2 + к3 ю3 dt - елементарне збільшення "шляху". Тоді "функціо-
нал шляху" запишеться у вигляді: S = йъ. Перейшовши від незалежної змінної t до нової незалежної змінної s = 1 ю1
буде в N разів більше). Т.к. час Тк також є непоправним ресурсом, то при оптимізації програми управління розворотом КА зі становища ЛН в положення ЛК доцільно вибрати показник, що враховує обидва фактори - тривалість та "витратність". Для елементарного повороту
Для подальшого читання статті необхідно придбати повний текст. Статті надсилаються у форматіPDFна вказану при оплаті пошту. Термін доставки становитьменше 10 хвилин. Вартість однієї статті -150 рублів.