Векторне розшарування Вікіпедія

Векторним розшаруваннямназивається певна геометрична конструкція, що відповідає сімейству векторних просторів, параметризованих іншим простором X (наприклад, X може бути топологічним простором, різноманіттям або структурою алгебри): кожній точці x простору X зіставляється векторний простір V x > так, що їх об'єднання утворює простір такого ж типу, як і X (топологічний простір, різноманіття або структуру алгебри тощо), зване простором векторного розшарування над X . Сам простір X називаєтьсябазою розшарування.

p align="justify"> Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарування, які в свою чергу є особливим типом розшарування.

Зазвичай розглядають векторні простори над речовими чи комплексними числами. У такому разі векторні розшарування називаються відповідно речовими або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як речові з додатковою структурою.

Найпростіший приклад — тривіальне розшарування, яке має вигляд прямого твору X × V, де X — топологічний простір (база розшарування), а V — векторний простір.
Більш складний приклад – це

Векторне розшарування - це локально тривіальне розшарування, у якого шар V є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень V .

ПідрозшаруваннямUвекторного розшаруванняVна топологічному просторіXназивається така сукупність лінійних підпросторів U x ⊂ V x \subset V_>, x ∈ X , яка сама має структуру векторного розшарування.
Лінійним розшаруваннямназивається векторне розшарування рангу 1.

Морфізмз векторного розшарування π 1 : E 1 → X 1 \colon E_\to X_> у векторне розшарування π 2 : E 2 → X 2 \colon E_\to X_> задається парою безперервних відображень f : E 1 → E 2 \to E_> та g : X 1 → X 2 \to X_> , таких що

g ∘ π 1 = π 2 ∘ f =\pi _\circ f>
для будь-якого x ∈ X 1 >, відображення π 1 − 1 ( < x >) → π 2 − 1 ( < g ( x ) >) , ^(\)\to \pi _^(\) , Індуковане f , - Лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що g визначається f (оскільки ?

Гомоморфізм розшарування з E 1 > в E 2 > , разом із зворотним гомоморфізмом, називаєтьсяізоморфізмом (векторних) розшарування. У такому разі розшарування E 1 > та E 2 > називаютьізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу k ) E над X на тривіальне розшарування (рангу k над X ) називаєтьсятривіалізацієюE , при цьому E називаютьтривіальним(аботривіалізується) . З визначення векторного розшарування видно, будь-яке векторне розшаруваннялокально тривіально.

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючисьпоточково.

Наприклад, якщо E — векторне розшарування на X , існує розшарування E ∗ > на X , що називаєтьсяпов'язаним розшаруванням, шар якого в точці x ∈ X — це сполучений векторний простір ( E x ) ∗ )^> . Формально E ∗ > можна визначити як безліч пар (x, φ), де x ∈ X і φ ∈ E x ∗ ^> . Сполучене розшарування локально очевидне.

Існує багато функторіальних операцій, що виконуються надпари векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарування E, F на X (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

Сума Уітні, аборозшарування прямої сумиE і F — це векторне розшарування E ⊕ F на X , шар якого в точці x є прямою сумою E x ⊕ F x \oplus F_> просторів E x & gt; і F x & gt;.

Розшарування тензорного творуE ⊗ F визначається аналогічно, використовуючи крапкові тензорні твори векторних просторів.

Розшарування гомоморфізмів(hom-bundle) Hom ( E , F ) \,(E,F) — це векторне розшарування, шар якого в точці x — простір лінійних відображень з E x >в F x >(часто позначається Hom ( E x , F x ) \,(E_,F_)>або L ( E x , F x ) ,F_)>). Це розшарування корисне, тому що існує бієкція між гомоморфізмами векторних розшарування з E до F на X і частинами Hom ( E , F ) \,(E,F)>на X .