Рефлексивний простір, Virtual Laboratory Wiki, FANDOM powered by Wikia

Рефлексивний простір— банаховий простір $X$, що збігається при канонічному вкладенні зі своїм другим сполученим $X^$.

Зміст

Визначення

Нехай $X^*$ — простір, пов'язаний з $X$, тобто сукупність усіх безперервних лінійних функціоналів, визначених на $X$. Якщо $ \langle x, f\rangle $ - значення функціонала $ f\in X^* $ на елементі $ x\in X $ , то при фіксованому $ x $ і $ f $ , що пробігає $ X^* $ , вираз $ \langle x, f\rangle=\mathcal F_x(f) $ буде лінійним функціоналом на $ X^* $ , тобто елементом простору $ X^ $ . Нехай $\overline\subset X^$ - безліч таких функціоналів. Відповідність $x\to\mathcal F_x$ є ізоморфізм, що не змінює норми $\!x\!=\!\mathcal F_x\! $. Якщо $ \overline= X^ $ , то простір $ X $ називаєтьсярефлексивним.

Приклади

• Простір $ \ell_p $ і $ L_p(a,b) $ , $ p> 1 $ , рефлексивні,
• Простір $ C [a, b] $ не рефлексивний.

Властивості

• Простір $X$ рефлексивний тоді і тільки тоді, коли $X^*$ рефлексивний.
• Простір X рефлексивний тоді і лише тоді, коли одинична куля цього простору слабо компактна.
• Рефлексивний простір слабко повний,
• Замкнене підпростір рефлексивного простору рефлексивно.

Варіації та узагальнення

• Поняття рефлексивності природним чином поширюється локально опуклі простору.

Література

• Данфорд Н., Шварц Дж., Лінійні оператори, ч. 1 - Загальна теорія, пров. з англ., М., 1982;
• Йосида До., Функціональний аналіз, пров. з англ., М., 1967;
• Канторович Л. В.,Акілов Р. П., Функціональний аналіз, I вид., М., 1977.

---