Векторний потенціал магнітного поля

Векторний потенціал магнітного поля- це плавно змінюється від точки до точки векторна величина, ротор якої дорівнює магнітній індукції.

p align="justify"> Векторний потенціал можна застосовувати для будь-яких областей простору, у тому числі і для областей зайнятих струмами.

Рівняння

можливе з урахуванням те, що(принцип безперервності) тоді, а дивергенція від будь-якого ротора дорівнює нулю (з математики).

Векторний потенціал магнітного поля вводиться до розрахунку вихрових полів (

). Але застосуємо і до розрахунку потенційних полів.

Напрям векторного магнітного потенціалу такий самий, як і у струму в провіднику.

За допомогою векторного потенціалу магнітного поля вирішують такі типи завдань:

1) Визначення магнітної індукції

2) Визначення магнітного потоку, що пронизує якийсь контур.

Приклад: Визначити потік

, що пронизує рамку, що створюється провідником зі струмом.

По теоремі Стокса: замінимо поверхневий інтеграл на лінійний (потік через поверхню обмежену контуром замінимо на циркуляцію по контуру):

Рівняння Пуассона

Для областей зайнятих струмами

Помножимо обидві частини рівняння на магнітну проникність

=const:

Лінії векторного магнітного потенціалу замкнені він, тобто:

Тоді

-рівняння Пуассона для векторного магнітного потенціалу.

Оскільки обидві частини рівняння входять векторні величини, це рівняння можна переписати для декартової системи координат:

Вирішуючи це рівняння, отримаємо проекції на осі координат:

помножимо на поодинокі орти, отримаємо:

- загальне рішення рівняння Пуассона.

Здопомогою цієї формули можна знайти векторний потенціал у будь-якій точці поля, для цього інтеграл у правій частині рівняння повинен бути взятий по всіх областях, зайнятих струмом.

Проте, користуватися цією формулою щоразу недоцільно, оскільки взяття інтеграла правої частини формули зазвичай пов'язане зі значними математичними викладками.

Приклад: У точці А необхідно визначити напрямок

Складова векторного магнітного потенціалу має такий самий напрямок у просторі, як і струм в елементі провідника.

Метод дзеркальних зображень

У магнітному полі постійного струму поблизу межі розділу двох середовищ для розрахунку поля використовують метод дзеркальних зображень.

Методика розрахунку повністю аналогічна задачі розрахунку електростатичного поля, створеного двома зарядженими осями, розташованими поблизу плоскої межі розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникностями. Лінійна щільність заряду замінюється струмом (

), а відносна діелектрична постійна середовища - відносної магнітної постійної>)

та- фіктивні струми

Знайдемо фіктивні струми, з граничних умов. Для цього розглянемо точку, що лежить на межі поділу середовищ; її можна вважати що належить як до першого, так і до другого середовища.

З першого граничного умови

Ліва частина рівняння визначає належність точки першому середовищі.

Права частина рівняння визначає належність точки друге середовище.

Скорочуючи однакові елементи у правій та лівій частинах рівняння, отримаємо

З другого граничного умови

Ліва частина рівняння визначає належність точки до першого середовища.

Права частинарівняння визначає належність точки до другого середовища.

Скорочуючи однакові елементи у правій та лівій частинах рівняння, отримаємо:

Вирішуючи систему з двох рівнянь, отримаємо значення фіктивних струмів:

---