ВЕРХНЯ ГРАНЬ СІМЕЙСТВА ТОПОЛОГІЙ

ВЕРХНЯ ГРАНЬ СІМЕЙСТВА ТОПОЛОГІЙ, точна верхня грань, на множині S-топологія ξ, найменша з усіх топологій на множині S, що містять кожну топологію заданого сімейства (див. Порівняння топологій). Передбазу топології ξ утворює сімейство всіх підмножин множини S, відкритих хоча б в одній топології сімейства.

Сімейство всіх можливих топологій на множині S з певною вище операцією взяття верхньої грані будь-якої підродини і мінімальним елементом – тривіальною топологією – є повні грати. Ст р. с. т. зв. також індуктивною межею сімейства топологій.

Корисна наступна інтерпретація Ст р. с. т. Нехай

- Тихонівський твір всіх топологич. просторів, що виникають від наділення множини S різними топологіями із сімейства . Через S* позначимо діагональ цього, т.е. безліч всіх постійних відображень в S (або, що те ж саме, безліч всіх ниток , для яких S = S', при всіх безліч S * знаходиться в природній взаємно однозначній відповідності з безліччю S, яке здійснюється при проектуванні безлічі Т на будь-який співмножник Якщо наділити S* топологією, індукованою з простору Т, і перенести цю топологію за допомогою зазначеної природної відповідності на S, то отримаємо верхню грань сімейства - ця інтерпретація В. р. т. дозволяє зрозуміти, що верхня грань будь-якого семейства хаусдорфовых топологий есть хаусдорфова топология, верхняя грань любого семейства вполне регулярных топологий есть вполне регулярная топология. Аналогичные утверждения для семейств регулярных, нормальных и паракомпактных топологий неверны. Но верхняя грань счетного семейства метризуемых топологий (со счетной базой) есть метризуемая топология (со счетной базой ).Діагональ S* не замкнута, як правило, в Т, ітому верхня грань двох бікомпактних топологій зазвичай не є бікомпактною.

Літ.: [1] Келлі Дж. Л., Загальна топологія, пров. з англ., М., 1968; [2] Бурбаки Н., Загальна топологія. Основні структури, пров. з франц., М., 1968.

А. В. Архангельський.

  1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.