Види біфуркацій

Для вивчення видів біфуркації бажано розібратися із самим поняттям біфуркації.

У загальному випадку дослідження всього фазового простору на точки біфуркації є складним завданням для n-вимірного простору, тому проводяться локальні дослідження, а отримані точки біфуркації називаються локальними точками біфуркації.

За локальними точками біфуркації можна простежити, спостерігаючи розвиток малих збурень у системі.

Біфуркації станів рівноваги та періодичних рухів на прикладі кульки

Найпростішими та найважливішими з них є біфуркації станів рівноваги та періодичних рухів.

Біфуркація положень рівноваги

До основних біфуркацій станів рівноваги відносять:

1. злиття та подальше зникнення двох станів рівноваги. Прикладом може бути рух кульки в потенційній «ямі» з «поличкою» (рис. 1). При згладжуванні «полички» BD стан рівноваги «сідло» S та центр С2 зливаються та зникають (рис. 2).

Малюнок 1 — Схема руху кульки в «ямі» з «поличкою» (а) та її фазовий портрет (б)

Малюнок 2 — Схема руху кульки після біфуркації (а) та її фазовий портрет (б)

• Народження граничного циклу із стану рівноваги. Приклад такої біфуркаціїбіфуркація Хопфа.

Розглянемо динамічну систему

(1)

Вона є спрощеним виразом складної динамічної системи, що описується функціями x(t) та y(t), які виражаються через відповідні полярні координати:

і називається системою Хопфа.

Система (1) залежить від двох параметрів, один з яких буде для нас ключовим, а інший з = const.

Розв'язання задачі Коші при деяких заданих початкових значенняхr(t=0)=r0, phi;(t=0)=phi;0 при λ 0 (λ = 4) (див. рис. 4)

0" src="https://libtime.ru/uploads/images/00/00/01/2014/06/18/grafik-dinamiki-2.png" alt="Графік динаміки (а) та фазовий портрет (б) ) у 'lambda; > 0" width="420" height="213"/>

Малюнок 3 — Графік динаміки (а) та фазовий портрет (б) при λ > 0

Різними кольорами зображені розв'язки за різних початкових умов. Як бачимо, після короткого перехідного процесу система входить у коливальний режим, причому амплітуда і частота коливань не залежать від початкових умов (за будь-яких початкових умов система прийде в той самий коливальний стан).

На фазовому портреті рішення для різних початкових умов як би намотуються на замкнуту криву. Ця крива, до якої при t-> ∞ прагнуть розв'язання задачі Коші, є атрактором і називаєтьсяграничним циклом.

Коливальний процес, що описує цей граничний цикл, називаєтьсяавтоколиваннями.

Розв'язки у вигляді автоколивань можливі лише у суттєво нелінійних динамічних системах.

Динамічна система Хопфа має нелінійність у вигляді куба параметра, причому додаткова нелінійність накладається завдяки визначенню функцій x(t) та y(t) як виразів тригонометричних функцій.

Можна довести, що з даної динамічної системи амплітуда коливань дорівнює .

Отже, λ = 0 – біфуркаційні значення параметра. У цій точці вузол втрачає стійкість і натомість народжується стійкий граничний цикл.

Дана біфуркація народження граничного циклу з нерухомої точки називаєтьсябіфуркацією Хопфа, а народження автоколивань - м'яким (при малих змінах параметра коливання мають малу амплітуду, яка збільшується з його зростанням). Жорстке народженняавтоколивань - при малих змінах параметра відбувається "викид" траєкторії в область тяжіння іншого атрактора.

• Народження одного рівноважного стану трьох станів рівноваги — спонтанне порушення симетрії. Наприклад, при русі кульки в жолобі за умови появи в ньому горбка з'являється біфуркація, при якій з виродженого стану типу «центр» виникають три стани рівноваги — сідло S та центри С1 та С2 (рис. 4)

Малюнок 4 - Народження з одного стану рівноваги трьох при малій зміні параметра (форми ринви):

а) форма ринви з одним мінімумом та відповідний фазовий портрет з одним станом рівноваги типу «центр»;

б) форма жолоба з двома мінімумами та відповідний фазовий портрет з трьома станами рівноваги: ​​«сідло» S та «центри» С1 та С2

Біфуркації народження (загибелі) періодичного руху

Усім біфуркація народження чи загибелі станів рівноваги відповідає проходження одного чи кількох коренів через нуль. Таку можливість проілюстровано на рис. 5 де зображена загибель двох станів рівноваги типу «сідла» і «вузла». Аналогічна біфуркація зустрічається в задачах конкуренції видів Х1 і Х2, що живляться з одного джерела. Відповідна динамічна система, що описує чисельність популяцій, задається рівняннями:

За ρ1,2 > 1 у системі можлива «перемога» одного з видів. При зменшенні будь-якого з параметрів ρ1,2 до значення, меншого від 1, за будь-яких початкових умов виживатиме лише один вид (рис. 5, б).

Малюнок 5 - Фазові портрети чисельності популяцій, а) при ρ1 1; б) при ρ1,2 > 1

Біфуркації зміни стійкості періодичних рухів

Вагома характеристикабіфуркації стійкості - значеннямультиплікаторів у критичний момент, що є коефіцієнтами посилення (загасання) малих збурень на фоні періодичного руху за період Т.

В автономній системі один з мультиплікаторів завжди дорівнює одиниці, тому надалі говоримо про інші. Якщо всі мультиплікатори по модулю менші одиниці, то початковий періодичний рух є стійким. Біфуркації, пов'язані зі зникненням стійкості, відбуваються за таких значень параметрів системи, при яких один або кілька з них рівні за модулем 1.

---