ВІДНОСИНИ ЛОГІКА definition of ВІДНОСИНИ ЛОГІКА and synonyms of ВІДНОСЕННЯ ЛОГІКА (Ukrainian)

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Ставленняв логіці першого порядку - дво-і більш аргументний предикат (багатомісний предикат), дво-і більш предикатна властивість. Знак відношення: R. [уточнити]

У термінах відносин вводяться багато найважливіших понять логіки та математики.

Судження (висловлювання), що означає ставлення, називається відносним судженням (відносним висловлюванням). У змістовних формулюваннях природних мов відношення виражається зазвичай присудками пропозицій, що мають більше одного підлягає (або підлягає і одне або кілька доповнень). Ці підлягають і доповнення (залежно від їх числа) в логіці називаютьсячленами,суб'єктамиабоелементамицього відношення.

Також залежно від числа елементів у логіці говорять про бінарні (двомісні, двочленні), тернарні (трьохмісні, тричленні), у загальному випадку — про n-арні (n-місцеві, n-членні) відносини.

Зміст

Вираз відносин у формалізованих мовах

Змістовні уявлення природних мов реалізуються в точних термінах теорії множин (алгебри [уточнити] ) та математичної логіки. Точне вираз (уточнення) теорії множин відображає екстенсіональний [уточнити] (об'ємний) аспект поняття відносини, уточнення математичної логіки - інтенсіональний [уточнити] (смисловий, змістовний) аспект.

Термін «алгебра відносин» використовується [джерело не вказано 143 дня] і для позначення відповідного розділу алгебри, і як синонім терміна «логіка відносин».

Мовою теорії множин та алгебри n-місцевим (n-арним, зокрема, бінарним) ставленням називається безліч (клас) упорядкованих систем з nелементів (упорядкованих n-ок, відповідно - упорядкованих пар) членів деякої множини. Ця множина називаєтьсяполемданого відношення.

Якщо, наприклад, х знаходиться у відношенні R до у (символічно: R(xy) або xRy), то мовою теорії множин це формулюється як належність упорядкованої пари (х, у) полю відношення R.

Для відносин, що розуміються таким чином, визначаються поняттяобласті визначенняданого відношення іобласті його значень. Безліч перших елементів упорядкованих пар, що входять у відношення R, становить його область визначення (область відправлення). Безліч інших елементів складає область значень (область прибуття). Аналогічні поняття запроваджуються й у багатомісних відносин. Оскільки відносини є окремими випадками множин, для них також аналогічно тому, як це робиться в теорії множин, вводяться операції об'єднання (суми [уточнити] ), перетину (твори [уточнити] ) і доповнення відносин.

У формалізованих мовах математичної логіки аналогом поняття відносини є поняття (багатомісного) предикату.

За допомогою апарату алгебри відносин вводяться багато найважливіших понять логіки та математики, наприклад, поняття функції та операції.

Логіка відносин

Розділ логіки, що вивчає висловлювання про відносини між об'єктами різної природи [уточнити] , називаєтьсялогікою відносин.

Хоча в логічних творах Аристотеля можна знайти висловлювання про відносини, логіка відносин як теорія не відбулася в античній логіці. Дещо більшу розробку ці ідеї отримали у середньовічній логіці.

По-справжньому логіка відносин була створена лише у Європі ХІХ століття. Найбільш значний внесок у її розробку зробили А. Чорч, Би.Рассел. З українських логіків можна назвати С. І. Поварніна.

Незалежно від європейської традиції, логіка відносин була створена в Індії школою ньяя.

Оскільки математичної логіці, починаючи з ХІХ століття, відносини виражаються у вигляді багатомісних предикатів, сучасна модифікація логіки відносин у її складі розробляється як частину логіки предикатів.

Ставлення та властивість

Багатомісні та одномісні предикати записуються в математичній логіці у вигляді пропозиційних функцій. Число змінних (аргументів) функції характеризує кількість місць, куди можуть підставлятися імена предметів. Відносини бувають двомісними, тримісними і т. д.; загальний випадок називається n-місцевим ставленням.

Види пропозиційних функційПозначення функції Назва пропозиційної функції Приклад предикату та відповідної йому пропозиціональної функції Дійсність, якій відповідає пропозиційна функція Приклад реальності
Р(х) або PxПропозиційна функція з однією змінною"Парне число (х)" або "x - парне число"Властивість«Бути парним числом»
R(x, y) або xRyПропозиційна функція з двома змінними«х більше у», «Ока коротше Волги», «рейки паралельні між собою»Двомісне відношення"Більше", "коротше", "бути паралельним".
R(x, у, z)Пропозиційна функція з трьома змінними«х знаходиться між у та z»? «x є сума y та z»Тримісне відношення"Знаходитись між", "бути сумою"
R(x, у, z, u)Пропозиційна функція з чотирма змінними«х відноситься до у, так само, як z до u»(«x, y, z, u є членами пропорції»)Чотиримісне ставлення«Бути членами пропорції»
і так далі

Ставлення відрізняється від якості тим, що приписування якості одному-єдиному індивіду призводить до утворення або істинного, або хибного судження, а відношення є така характеристика, яка для освіти або істинного, або хибного судження вимагає щонайменше приписування її двом предметам.

Приклади утворення хибних та дійсних судженьХарактеристика Приклад функції Приклад справжнього судження Приклад помилкового судження Приклад безглуздого вираження
Властивість"х - парне число""4 - парне число" (підстановка індивіда 4 замість змінної х)"5 - парне число" (підстановка числа 5 замість х)
Двомісне відношення«х більше у»«5 більше 3» (підстановка індивідів 5 і 3 замість х та у)«1 більше 2» (підстановка індивідів 1 та 2 замість х та у)«3 більше» (відношення приписується лише одному індивіду 3)

Безглузде вираження в останньому розділі таблиці - вираз, який не утворює ністинного, ні помилкового судження, і, таким чином, не має сенсу.

Ставлення також визначається як багатомісне властивість, властивість - як одномісне ставлення, але деякі логічні теорії відкидають можливість такого ототожнення.

Види відносин

Види відносин за кількістю елементів

  • Бінарне ставлення- те саме, що двомісне відношення (двульне відношення).
  • Тернарне ставлення— те саме, що тримісне ставлення (тричленне ставлення).
  • Кватернарне ставлення— те саме, щочотиримісне відношення (чотиричленне відношення)

Види двомісних відносин за їх властивостями

Необхідно перенести вміст цього розділу до статті Бінарне ставлення.
  • Зворотне відношення[уточнити] (ставлення, зворотне до R) - це двомісне відношення, що складається з пар елементів (у, х), отриманих перестановкою пар елементів (х, у) даного відношення R. Позначається: R −1 . Для цього і зворотного йому правильна рівність: (R −1 ) −1 = R.
  • Взаємозворотні відносини(взаємозворотні відносини) - відносини, що є зворотними один до одного. Область значень одного їх служить областю визначення іншого, а область визначення першого — областю значень іншого.
  • Рефлексивне відношення— двомісне відношення R, визначене на деякій множині і яке відрізняється тим, що для будь-якої х цієї множини елемент х знаходиться у відношенні R до самого себе, тобто для будь-якого елемента х цієї множини має місце xRx. Приклади рефлексивних відносин: рівність, одночасність, подібність.
  • Антирефлексивне відношення(нерефлексивне [уточнити] відношення, іррефлексивне відношення) - двомісне відношення R, визначене на деякій множині і відрізняється тим, що для будь-якого елемента х цієї множини невірно, що воно знаходиться в відношенні R до самого себе (невірно, що xRx), тобто можливий випадок, що елемент множини не знаходиться у відношенні R до самого себе. Приклади нерефлексних відносин: «піклуватися про», «розважати», «нервувати».
  • Транзитивне відношення— двомісне відношення R, визначене на деякій множині і яке відрізняється тим, що для будь-яких х, у, z цієї множини з xRy і yRz слідує xRz (xRy&yRzxRz). Прикладитранзитивних відносин: «більше», «менше», «рівно», «подібно», «вище», «північніше».
  • Нетранзитивне відношення[уточнити] — двомісне відношення R, визначене на деякій множині і відмінне тим, що для будь-яких х, у, z цієї множини з xRy та yRz не слід xRz ((xRy& ;yRzxRz)). Приклад нетранзитивного відношення: x батько y
  • Симетричне відношеннядвомісне відношення R, визначене на деякій множині і відрізняється тим, що для будь-яких елементів х і у цієї множини з того, що х знаходиться до у відношенні R (xRy), слід, що і у знаходиться у тому ж ставленні до х (уRx). Прикладом симетричних відносин може бути рівність (=), нерівність, ставлення еквівалентності, подібності, одночасності, деякі відносини кревності (наприклад, ставлення братства).
  • Антисиметричне відношення[уточнити] — двомісне відношення R, визначене на деякій множині і яке відрізняється тим, що для будь-яких х і у з xRy і xR −1 y слід х = у (тобто R та R −1 виконуються одночасно лише для рівних між собою членів).
  • Асиметричне відношення[уточнити] — двомісне відношення R, визначене на деякій множині і яке відрізняється тим, що для будь-яких х і у з xRy слід yRx. Приклад: відношення «більше» (>) і «менше» ([уточнити] , відношення типу рівності) — двомісне відношення R між предметами х і у предметної області D, що задовольняє наступним аксіомам (умовам):
  • аксіомі рефлексивності (див. вище): xRx (предмет знаходиться у відношенні R до самого себе);
  • аксіомі симетричності (див. вище): xRyyRx (якщо предмет х знаходиться у відношенні R до предмета у, то і у знаходиться у відношенні R до х);
  • аксіомі транзитивності (див. вище): xRy&yRzxRz (якщопредмет х знаходиться у відношенні R до предмета у і у знаходиться у відношенні R до z, то х знаходиться у відношенні R до г). *: Таким чином, відношення типу рівності є одночасно рефлексивним, симетричним та транзитивним. Приклади: рівність, рівнопотужність двох множин, обмінність товарів на ринку, подібність, одночасність. Приклад відношення, яке задовольняє аксіомі (3), але не задовольняє аксіомам (1) та (2): «більше».
  • Відносини порядку— відносини, що мають лише деякі з трьох властивостей відношення еквівалентності. Зокрема, рефлексивне і транзитивне ставлення, але несиметричне (наприклад, «не більше») утворює «нестрогий» порядок. Ставлення транзитивне, але нерефлексивне та несиметричне (наприклад, «менше») — «суворий» порядок.
  • Функціональне ставлення(однозначне відношення) - двомісне відношення R, визначене на деякій множині і відрізняється тим, що кожному значенню у відношенні xRy відповідає лише одне єдине значення х. Приклад: «х батько». Властивість функціональності відношення R записується як аксіоми: (xRy і zRy)(xz). Оскільки кожному значенню у виразах xRy і zRy відповідає одне і те ж значення для х і z, то х і z співпадуть, виявляться одними і тими ж. Функціональне ставлення однозначно, оскільки у випадку кожному значенню у відносини xRy відповідає лише одне-єдине значення x, але з навпаки.
  • Взаємно-однозначне відношення(одно-однозначне відношення]]) - двомісне відношення R, визначене на деякій множині і відрізняється тим, що в ньому кожному значенню х відповідає єдине значення у, і кожному значенню у відповідає єдине значення х . Одно-однозначне ставлення є приватнимвипадком однозначного відношення. Приклади одно-однозначного відношення: «х є батько єдиного у». [джерело не вказано 143 дні]
  • Зв'язане відношення— це двомісне відношення, визначене на деякій множині, що відрізняється тим, що для будь-яких не рівних між собою х і у, що належать до цієї множини, одне з них знаходиться у відношенні R до іншого (тобто. виконано одне із трьох співвідношень: xRy, х = у або yRx). Приклад: Відношення «менше» (Література
  • Тарський А.Введення в логіку та методологію дедуктивних наук / Пер. з англ. - М., 1948.
  • Черч А.Введення в математичну логіку/Пер. з англ. - Т. 1. - М., 1960.
  • Уємов А. І.Речі, властивості та відносини. - М., 1963.
  • Шрейдер Ю. А.Рівність, подібність, порядок. - М., 1971.
  • Івін А. А., Никифоров А. Л.Словник з логіки - М.: Туманіт, ВЛАДОС, 1997. - 384 с.
  • Гастев Ю. Л.Про в логіці // Велика радянська енциклопедія - (Розділ ст. «Ставлення (філософ.)»)
  • Гастев Ю. Л.Логіка відносин// Велика радянська енциклопедія

All translations of ВІДНОСЕННЯ ЛОГІКА