Відображення Пуанкаре
Визначення відображення Пуанкаре гарантує, що його граничні множини відповідають граничним множинам зазначеної потокової системи. Корисність відображень Пуанкаре полягає в зниженні порядку системи і в тому факті, що вони є мостом між системами з безперервним і дискретним часом.ВизначенняВизначення відображення Пуанкаре по-різному для автономних і неавтономних систем. Розглянемо обидва ці випадки окремо.Відображення Пуанкаре для неавтономних систем Нагадаємо, що періодична в часі неавтономна система n-го порядку з мінімальним періодом T може бути перетворена на автономну систему (n+1)-го порядку в циліндричному фазовому просторі за допомогою перетворення
Розглянемо n-мірну гіперплощину
Кожні T секунд траєкторія системи перетинає гіперплощину "сигма" (див. рис.1)
PN називається відображенням Пуанкаре неавтономної системи. Індекс N вказує на неавтономну систему, і служить для відхилення цього відображення від відображень Пуанкаре, які використовуються в автономних системах. Зазначимо, що для фіксованого t, фt є диффеоморфізм і, отже, Pn можна уявляти двома способами: 1. PN показує, яке значення набуде x через T секунд. Це називається відображенням зсуву на час Т.
моделює окрему траєкторію з інтервалом T секунд, тобто.
Це схоже на стробоскопічне висвічування точок траєкторії з періодом T. Відображення Пуанкаре для автономних систем Розглянемо автономну систему n-го порядку з граничним циклом Г, показаному на рис.2.
Нехай x * - точка на граничному циклі, і нехай "сигма" - n-вимірна гіперплощина, трансверсальна до Р в точці x *. Траєкторія, що виходить із x * , через T секунд знову потрапить у точку x *на гіперплощині "сигма" (T – мінімальний період граничного циклу). В силу безперервності потоку фt за початковими умовами, траєкторії, що починаються на "сигма" в досить малій околиці точки x * будуть приблизно через T секунд перетинати "сигма" поблизу точки x * . Отже, фt і "сигма" визначають відображення PA в деякій околиці U точки x * в іншу околицю U точки x *. PA є відображення Пуанкаре автономної системи.
Примітки:1. PA визначено локально, тобто на околиці x * . На відміну від неавтономного випадку, тут немає гарантії, що траєкторія, що вийшла з точки на "сигму", знову перетне "сигму".
2. Для евклідова фазового простору, точка PA(x) не є першою точкою, в якій потік фt перетне "сигма"; фt(x) повинен пройти через "сигма" принаймні ще один раз, перш ніж повернутися в U. У цьому також полягає відмінність від циліндричного фазового простору на рис.1.
3. PA є диффеоморфізмом і, отже, оборотно та диференційовано.
Щойно наведене визначення відображення Пуанкаре є стандартним визначенням, взятим з теорії динамічних систем, але воно рідко використовується при чисельному моделюванні, оскільки передбачає попереднє знання положення граничного циклу. На практиці вибирають (n-1)-мірну гіперплощину "сигма", яка поділяє R N на дві області:
де h є вектор, нормальний до "сигма" і x - деяка точка, що лежить на гіперплощині, і
- скалярний добуток. Якщо "сигма" обрана правильно, то траекторія, що спостерігається, буде повторно перетинати "сигма", переходячи з "сигма-" в "сигма+", і потім назад і т.д., як показано на рис.3.
Для заданої гіперплощини "сигма" можуть бути визначені трирізних відображення Пуанкаре:
P+: P+(x) - це точка, у якій фt(x) вперше перетинає "сигма" у позитивному напрямі, тобто.
P-: P-(x) - це точка, у якій фt(x) вперше перетинає "сигма" у негативному напрямі, тобто.
P+-: P+-(x) - це перша точка, в якій фt(x) перетинає "сигма" в якомусь напрямку при t>0. P+ і P-називаються односторонніми відображеннями Пуанкаре, в той час як P+- називається двостороннім відображенням Пуанкаре. Зазначимо, що точка, у якій траєкторія стосується гіперплощини, тобто. x на "сигма", для якої
задовольняє критеріям кожного із трьох відображень.
Для будь-якого з цих відображень немає гарантії, що добре визначено, оскільки фt(x) може ніколи не перетнути "сигма" для t>0. Для системи з евклідовим фазовим простором, яка не прагне стану рівноваги, завжди можна вибрати гіперплощину, для якої всі три відображення добре визначені. Це твердження не є правильним для системи з неевклідовим фазовим простором.
Як приклад розглянемо відображення Пуанкаре неавтономної системи. Оскільки траєкторія завжди перетинає "сигма" в тому самому напрямку, одне з односторонніх відображень Пуанкаре виявляється невизначеним; це буде P+ або P-, залежить від вибору вектора нормалі h.
Якщо одне із відображень добре визначено, безперервність, і, отже, диференціювання ще не гарантовано; проте, якщо f трансверсально до "сигма" у точці x і у точці P(x), тоді відображення локально диференційовано.
Відображення PA пов'язане з трьома зазначеними вище відображеннями наступним чином. В евклідовому фазовому просторі траєкторія, що виходить з фіксованої точки x, може перетинати "сигма" більш ніж один раз, насампередчим повертається до x * . Нехай буде k перетинів, включаючи остаточне повернення x * , і припустимо, що всі перетину є трансверсальними. Тоді PA еквівалентний k-раз застосованому відображенню P+, тобто PA(x)=P+-k(x). Зауважимо, що в евклідовому просторі k завжди буде парним, і отже PA буде еквівалентно k/2-застосуванням P+ або P-; чи буде застосовано P+ або P-, залежить від того, спрямовано f(x * ) "сигма+" або "сигма-".Граничні множини відображень ПуанкареРозглянемо взаємозв'язок між граничними множинами відображень Пуанкаре і граничними множинами вихідних потоків. Крім спеціально обумовлених випадків, обговорення стосуватиметься стійких граничних множин систем у евклідовому фазовому просторі.Точки рівновагиНе існує граничної множини відображення Пуанкаре, що відповідає точці рівноваги.Періодичні рішенняОбговоримо окремо автономний та неавтономний випадок, але спочатку наведемо два визначення. x * - є нерухома точка відображення P, якщо x * = P (x *). Багато 1. x * K> - є замкнута орбіта періоду K відображення P, якщо x * k + 1 = P k де k = 1. K-1 і x * 1=P * K.Неавтономні системиРішення періоду однієї системи з безперервним часом відповідає нерухомій точці x * відображення Пуанкаре PN. Субгармоніка K-го порядку відповідає замкнутій орбіті періоду K1. x * k> відображення Пуанкаре. Зауваження: Відображення Пуанкаре "заморожує" будь-яку періодичну компоненту рішення, яка має період, порівнянний з періодом сили, що змушує. Така дія аналогічна до стробоскопічного висвічування зображувальної точки.Автономні системиPA: граничний цикл потоку фt відповідає нерухомій точці x* відображення PA.
Замкнена орбіта періоду K відображення PA вказує субгармонічне рішення вихідного потоку. Нагадаємо, що треба бути обережним під час використання терміна "субгармонічне рішення" в автономних системах. Зокрема, якщо мінімальний період циклу Г є T, то мінімальний період субгармоніки K-го порядку буде близьким, але зазвичай не дорівнює KT, оскільки на відміну від відображення Пуанкаре для неавтономних систем PA визначається з умови перетину, а не з тимчасових умов . Таким чином, час повернення x * дорівнює T, але час повернення для точки поблизу x * близько, але зазвичай не дорівнює T.
P+, P- та P+-: Для цих відображень класифікація граничних циклів не є однозначною, оскільки гранична множина відображення Пуанкаре залежить від положення сіючої гіперплощини "сигма". Зокрема, для заданого граничного циклу вихідного потоку різний вибір "сигма" може призводити до виникнення замкнутих орбіт різних порядків (рис.4).
Найбільш загальне твердження, яке може бути зроблено, полягає в тому, що замкнута орбіта одного з цих відображень Пуанкаре відповідає граничному циклу вихідного потоку. В евклідовому фазовому просторі, якщо граничний цикл припиняє "сигма" трансверсально при кожному перетині, то порядок відповідної замкнутої орбіти відображення P + дорівнює порядку відповідної замкнутої орбіти відображення P-і дорівнює половині порядку відповідної замкнутої замкнутої. Майже будь-яке обурення гіперповерхні "сигма" призводить до зникнення нетрансверсальних перетинів (дотик). Узагальнюючи, можна сказати, що всі замкнуті орбіти відображення P+ мають парний порядок.