Вимірювання геометричних величин в курсі середньої школи

Міністерство освіти Республіки Білорусь

“Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини»

групи Горошко О.Ю.

Канд. фіз-мат. наук,

доцент Лебедєва М.Т.

Зміст

1. Освітні цілі вивчення теми у шкільному курсі математики. Загальне поняття величини. Приклад побудови теорії величин

2. Методика вивчення геометричних величин. Теорія вимірювання довжин відрізків

Вимірювання геометричних величин – одна з основних ліній шкільного курсу геометрії, яка знайомить учнів із важливими ідеями, поняттями та методами метричної геометрії. Вимірювання геометричних величин пов'язані з ідеєю аксіоматичного методу, теорією дійсного числа, методами математичного аналізу. Знайомство учнів із різними формулами розширює можливості застосування у шкільному курсі геометрії аналітичного методу. Головна особливість викладу матеріалу – поєднання різних математичних ідей та методів, наприклад, у темі «Площі фігур» використовується традиційно-синтетичний та аналітичний методи.

1. Освітні цілі вивчення теми у шкільному курсі математики. Загальне поняття величини. Приклад побудови теорії величин

-Початкова школа: приклади величин (довжина, площа, маса, вартість); одиниці їхнього виміру; приклади залежностей між величинами (шляхом, швидкістю та часом; площею та довжинами сторін прямокутника і т. д.);
-У 5-6 класах: приклади величин(довжина, площа, об'єм, градусна міра кута); одиниці виміру довжин, площ, обсягів та кутів; масу тіл; площа прямокутника, прямокутного трикутника, обсяг прямокутного паралелепіпеда, формули довжини кола та площікола.
-в 7-9 класах: поняття про площу, основні властивості площі, площу прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, відношення площ подібних фігур, площу кола та його частин, вирішення завдань на обчислення невідомих довжин, кутів та площ;
-У 10-11 класах: поняття про обсяг, основні властивості обсягу, обсяги багатокутників: прямокутного паралелепіпеда, призми, піраміди; обсяги тіл обертання: циліндра, конуса, кулі; площі сфери.

У цій же програмі пред'являються такі вимоги до підготовки учнів у галузі геометричних величин:

-Учні початкової школи повинні навчитися вимірювати найпростіші величини та виконувати над ними відповідні дії. Програма рекомендує основну увагу зосередити на виробленні міцних навичок вимірювання величин, на оволодіння найбільш поширеними практично одиницями вимірювання величин;

-учням 5-6 класів необхідно набути навичок вимірювання геометричних величин, навчитися вирішувати найпростіші завдання на знаходження довжин, площ та обсягів;

-учні 7-9 класів повинні набути навичок вимірювання та обчислення довжин, кутів і площ, що застосовуються для вирішення різноманітних геометричних та практичних завдань. Учні повинні також вирішувати нескладні завдання на знаходження величин, які не зводяться до безпосереднього застосування однієї формули чи теореми.

Величина - одне з основних понять математики, що виникло в давнину і зазнало у процесі розвитку математики ряду узагальнень.

Загальне поняття величини – безпосереднє узагальнення конкретних величин (довжини, площі, обсягу, маси тощо.), властивості яких сформульовані ще «початках» Евкліда. Згодом ця величина отримала назву "позитивної скалярної величини", щобвідрізнити її від загальніших понять величини (векторної та інших.).

Інтуїтивно ми уявляємо собі, що величина може бути більшою або меншою, дві однорідні величини можуть складатися, її можна виміряти, розуміючи під цим порівняння даної величини з однорідною, прийнятою за одиницю виміру. Однак сформулювати це поняття в математичних термінах не так просто.

У навчанні школярів використовуються … величини, вивчення яких добре ілюструє загальне поняття величини за відповідної постановки навчання.

Розглянемо приклад побудови теорії величини.

Нехай маємо безліч З з введеним у ньому ставленням a – монотонність складання;

a, b ^ a > b =>!С: b + с = a – можливість обчислення: a – b = c;

а n b: nb = a - можливість розподілу величини на натуральне число: a: n = b;

a, b n N: a 0).

Міру а при одиниці виміру “з” позначимо через m(a), тобто. якщо a = ?c, то m(a) = ?.

Міра має такі властивості:

m – функція з областю визначення і областю значення R, тобто. “m” відображає на R;
монотонність міри;
адитивність заходу;
міра одиниці виміру дорівнює 1.

Перелічені властивості повністю характеризують міру "m", існує єдина функція: -> R, що володіє цими властивостями, а міра m(a) величини а при одиниці вимірювання с.

Якщо замінити через с', то виходить новий захід: m'(a) = a', причому оскільки m(a) = ά, то зв'язок між двома заходами висловитися так: m'(a) = a-1m(a ).

Перелічені властивості загального поняття величини та заходи величини знаходять застосування (у явному чи не явному вигляді) щодо конкретних геометричних величин (довжини, площі та обсягу) у школі.

2. Методикавивчення геометричних величин Теорія виміру довжин відрізків

Вимірювання геометричних величин (довжини, площі, обсягу) вивчається у шкільному курсі двічі, двох різних рівнях.

На першому, експериментальному рівні в початкових класах навчаються вимірювати довжини відрізків, площі найпростіших плоских фігур та обсяги найпростіших просторових тіл. На цьому рівні не дається визначень довжини, площі та об'єму. Ціль полягає в тому, щоб створити у учнів ясні інтуїтивні поняття.

Методика вивчення геометричної величини цьому рівні досить широко висвітлена у літературі.

Зупинимося деяких питаннях методики вивчення геометричної величини другою рівні.

'Шкільна' теорія виміру геометричних величин має будуватися зі збереженням деякої загальної схеми. Це відноситься насамперед до визначення понять: «довжини», «площа», «обсяг». . Розкриття цього в процесі навчання сприяє глибшому розумінню і міцності знань. Кожне з трьох понять визначаться як речове число, що задовольняє умовам, які характеризують загальні поняття міри множини.

Наприклад, теорія виміру довжини відрізків може бути побудована за такою схемою:

Визначення довжини відрізка як речового числа, що задовольняє умовам 1)-4) поняття міри;
Опис процедури виміру відрізка;
Встановлення існування та єдиності довжини відрізка при даному виборі одиниці виміру з використанням аксіоми Архімеда;
Встановлення існування відрізка, довжина якого при цьому виборіодиниці виміру дорівнює будь-якому, наперед заданому позитивному числу (з використанням аксіоми Кантора, геометричного еквівалента аксіоми безперервності).

Роз'яснення учням старших класів сутності аксіоми Кантора не становить особливих труднощів. Це можна зробити саме у зв'язку із встановленням властивості 4.

Випадок, коли перед задане число раціонально, аксіома Кантора застосовується, а використовується елементарна побудова. Якщо це число ірраціонально, наприклад х = 2,313113111311113 ..., то чинимо так: введемо на пряму систему координат (початок 0, напрямки одиницю виміру). Ми можемо побудувати точки А1 і B1, де А1 = 2,3; B1 = 2,4 - наближення з точністю 0,1. Якщо існує точка М, ОА1 S1=а, S=S1в.

VII. Площа подібних фігур.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів.

За доказом цього твердження використовують поняття простої фігури, визначення подібних фігур. Якщо фігура розбивається на прості трикутники, площі яких позначимо через , а фігура - на трикутники, площі яких і фігури і подібні до коефіцієнта , то лінійні розміри трикутників у раз змінені, по відношенню до розмірів трикутників , то: і т. д., тому :

VIII. Площа кола.

Коло - плоска фігура, але її не можна розбити на прості трикутники. Тому, така фігура має площу , якщо існують прості фігури, що містять її, і що містяться в ній прості фігури з площами, як завгодно мало відрізняються від .

Під час проведення уроків на тему «Площа фігур» висновок загальних формул має закріплюватися на окремих прикладах. Виклад теоретичного матеріалу має бути максимально скорочено (в розумних межах), що дозволило б заощадити час для вирішення більш складнихзадач. (Можливо проведення уроків-лекцій для викладу теорії). Бажано проводити самостійні роботи, як навчального, і контролюючого характеру в кожному з досліджуваних випадків.

Завдання 1.

а) Розділіть цей трикутник на три рівновеликі частини прямими, що проходять через одну вершину.

б) Розділіть цей паралелограм на три рівновеликі частини прямими, що проходять через одну вершину.

Аналогічно: Тому крапки і ділять відповідно відрізки та щодо 2:1 від вершин і відповідно.

Завдання 2.

Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні його висотам, тобто:

. Тому що отримуємо:

що потрібно довести.

Завдання 3.

Доведіть, що серед усіх паралелограмів із даними діагоналями найбільшу площу має ромб.

Перший метод.

Якщо - ромб, то , тобто. Найбільше значення твору залежить від найбільшого значення, яке досягається при, якщо, то. Отже, площа ромба є найбільшою серед усіх площ паралелограмів з даними діагоналями.

другий метод.

Складемо функцію, що виражає площу паралелограма:

Оскільки - найменший кут, утворений діагоналями при перетині, те й буде точкою максимуму, отже: ; і цей паралелограм – ромб.

Завдання 4.

Пряма, перпендикулярна висоті трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює .

- трапеція, тобто подібний

Так як для подібних трикутників їх площі відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів, то:

Існують різні методичні підходи до вивчення питань виміругеометричних величин у курсі стереометрії.

Для виведення формули обсягу можуть бути використані:

Принцип Кавальєрі: обсяги (або площі) двох тіл (фігур) дорівнюють, якщо рівні між собою площі (довжини) відповідних перерізів, проведених паралельно певній даній площині (прямий).
Формула Сімпсона:

Нехай проміжок [a,b] розбитий на n часткових проміжків [xi, xi+1] довжини , при цьому n вважається парним числом, і для обчислення інтеграла проміжку [x2k, x2k+2] використовується наведена формула:

Принциповим моментом теорії обсягів тіл є обгрунтування формули для учнів є досить важким і складним. Структурна складність доказу підказує, що з його вивченні доцільно скористатися прийомами виділення логічної структури докази (розбиття докази окремі кроки, складання логіко-структурної схеми докази тощо.). Наявність у доказі важких розуміння міркувань говорить про доцільність використання прийомів конкретизації, моделювання тощо.

Структура доказу формули обсягу прямокутного паралелепіпеда:

встановлюється величина відношення висот двох паралелепіпедів із загальною основою;
встановлюється величина відношення обсягів обраних паралелепіпедів;
порівняння набутих значень відносин;
висновок формули обсягу прямокутного паралелепіпеда, застосовуючи доведену властивість до одиничного куба і паралелепіпедів з вимірами: a,1,1; a,b,1; a, b, c.

При вирішенні завдань учні іноді “плутають” властивості прямого та прямокутного паралелепіпедів, неправильно вказують їхній діагональний перетин тощо. Більш поглиблене вивчення цих понять на етапі їхнього запровадженнязабезпечує методична схема, що застосовувалася раніше:

проаналізувати емпіричний матеріал;
математизувати емпіричний матеріал – побудувати визначення;
скласти алгоритм розпізнавання поняття;
включити поняття до системи понять.

Завдання № 5.

Грані паралелепіпеда – рівні ромби зі стороною а та гострим кутом 60 0 . Знайдіть обсяг паралелепіпеда.