Вирішення проблеми континууму
Математична проблема континууму
p align="justify"> Отже, перша концепція континууму була представлена у вигляді неподільних моментів - миттєвостей часу і неподільних точок простору. Проблема континууму поставили Зеноном, який виявив парадокси у цій концепції. Розглянемо один із цих парадоксів, наприклад третій. Зенон у парадоксі "Стріла" доводить, що стріла, що летить, спочиває. Тут він виходить із розуміння часу як суми неподільних моментів "тепер", а простору як суми неподільних точок. Зенон вважав, що у кожний момент часу стріла займає місце, рівне своєму обсягу, отже, рух можна мислити лише як суму “просунутостей” – станів спокою, оскільки за дійсному русі предмет повинен займати місце більше, ніж сам. Таким чином, Зенон довів, що атомістичний континуум не дозволяє руху ні існувати, ні бути мислимим.
Аристотель, створюючи свою фізику, змушений був довести можливість мислити рух без суперечностей, тобто. вирішити парадокси Зенона Аристотель зробив це, поглибивши розуміння природи континууму, уведенням поняття безперервності. За Арістотелем, безперервність - це коли у дотичних один до одного елементів, межа дотику належить як одному, так і іншому елементу, що дотикається. Сумежність же, це коли елементи, що стикаються один до одного, зберігають свої межі. За Арістотелем, безперервними можуть бути частини простору, часу та руху. І безперервне це те, що ділиться на частини, що завжди діляться. Тобто безперервне не може складатися з неподільних частин. Аристотель дозволив парадокси, що виникли у фізиці, при допущенні атомарності простору та часу, показавши можливість мислити рух як безперервний процес, а неяк суму “просунутостей”. Автор цієї статті, захопила глибина думки Аристотеля, яка досі повністю не усвідомлена, і вважає, що теорія континууму Аристотеля, є фундаментом не тільки фізики, а й математики, так як принцип безперервності дана Аристотелем з дотриманням суворої математичної логіки.
А від'ємні числа? Індійці запровадили поняття негативного числа. Негативне число трактувалося ними як комерційний борг. На мові логіки це відкладене на якийсь час віднімання грошей у боржника. В Індії було введено особливий знак для нуля. Словесне позначення нуля в індійців "шунья" перекладається як "порожнє".
Сучасне поняття негативного числа і нуля входить у суперечності з їх первинним розумінням. Нуль, з погляду початкового розуміння, це пусто. Тоді незрозуміло, який рахунок може йти після “порожньо”. У первинному розумінні негативного числа, його немає, оскільки негативне число було звичайним числом зі знаком віднімання. Тож у сучасну математику треба запровадити уточнення, що операції складання і віднімання записується у бінарному вигляді, а й у унарном. Це видно на елементарному прикладі: 0-1=-1. Нереалізована бінарна операція віднімання перетворюється на унарний вид запису, тобто у вигляді записи очікування. І при подальшому використання цього числа у розрахунках реалізується як звичайна операція віднімання.
Автор робить висновок: що немає негативних чисел у сучасному розумінні, а є математика, в яку закладено, що числа при розрахунках визначені щодо операцій додавання та віднімання.
Висновок: Рішення математичної проблеми континууму акцентувала увагу на більш глобальній проблемі - необхідності введення в числову математику принципу безперервності, яка вже більш ніж давно визначена вфілософії (фізики). Тим більше, що природа єдина, і не можуть принципи філософії та принципи математики з однієї й тієї ж проблеми суперечити один одному.
П. П. Гайденка. "Поняття часу та проблема континууму"