Загальна схема вирішення завдань на кількість інформації

Завдання, пов'язані з визначенням кількості інформації, займають досить велике місце як у загальному курсі 9-11 класів, і за підсумкової атестації різного типу.

Зазвичай вирішення подібних завдань не становить труднощів для учнів з добрими здібностями до аналізу ситуацій. Але більшість учнів спочатку плутаються в поняттях і не знають, як почати рішення.

Тим не менш, до 9-го класу учні вже мають певний досвід вирішення завдань з інших предметів (найбільше – фізика) із застосуванням формул. Визначити, що завдання дано, що потрібно знайти, і висловити одну змінну через іншу – дії досить звичні, і з ними справляються навіть слабкі учні. Можна ввести деякі додаткові формули в курсі інформатики і знайти загальний стиль їх застосування у вирішенні завдань.

Відштовхнемося від однієї з головних формул інформатики - формули ХартліN = 2 i. При її використанні учні можуть ще не знати поняття логарифму, спочатку мати перед очима, а потім запам'ятати таблицю ступенів числа 2 хоча б по 10-му ступеню.

При цьому формула може застосовуватися у розв'язанні задач різного типу, якщо правильно визначити систему позначень.

Виділимо в системі завдань кількість інформації завдання наступних типів:

Кількість інформації при ймовірнісному підході;
Кодування положень;
Кількість інформації при алфавітному підході (кодування тексту);
кодування графічної інформації;
Кодування звукової інформації

Усі завдання групи A (у випадку, якщо ми маємо справу з рівноймовірними подіями) вирішуються безпосередньо за формулою Хартлі з її звичними позначеннями:

N – кількість рівноймовірних подій;
i –кількість біт у повідомленні про те, що подія сталася,

Причому в задачі може бути визначена будь-яка із змінних із завданням знайти другу. Якщо число N не є безпосередньо числом, що представляє той чи інший ступінь числа 2, кількість біт нам необхідно визначити «із запасом». Так, для гарантованого вгадування числа в діапазоні від 1 до 100 необхідно поставити мінімально 7 питань (27=128).

Вирішення завдань для випадків нерівноймовірних подій у цій статті не розглядається.

Для вирішення завдань груп B-E додатково введемо ще одну формулу:

Q=k*i

та визначимо систему позначень для завдань різного типу.

Для завдань групи B значення змінних у формулі Хартлі таке:

i – кількість «двійкових елементів», що використовуються для кодування;
N – кількість положень, які можна закодувати у вигляді цих елементів.

два прапорці дозволяють передати 4 різні повідомлення;
за допомогою трьох лампочок можна закодувати 8 різних сигналів;
послідовність з 8 імпульсів та пауз при передачі інформації за допомогою електричного струму дозволяє закодувати 256 різних текстових знаків;

Розглянемо структуру рішення за такою формулою:

Завдання 1: Скільки існує різних послідовностей із символів плюс і мінус довжиною рівно в п'ять символів?

Кожен елемент у послідовності кодування несе один біт інформації.

Очевидно, що при визначенні кількості елементів, необхідних для кодування N положень, нас завжди цікавить мінімально необхідна кількість біт.

При одноразовому кодуванні необхідної кількості положень ми визначаємо необхідну кількість біті обмежуємось формулою Хартлі. Якщо кодування проводиться кілька разів, то ця кількість ми позначаємо як k і, визначаючи загальну кількість інформації для коду (Q), застосовуємо другу формулу.

Завдання 2: Метеорологічна станція веде спостереження за вологістю повітря, результатом яких є ціле число від 1 до 100%, кодується за допомогою мінімально можливої кількості біт. Станція зробила 80 вимірів. Який інформаційний обсяг результатів спостережень.

Дано: N = 100; k = 80

За формулою Хартлі i = 7 (із запасом); Q = 80 * 7 = 560

(Якщо в задачі дано варіанти відповідей з використанням інших одиниць виміру кількості інформації, здійснюємо переклад: 560 біт = 70 байт).

Зазначимо додатково, що, якщо для кодування використовуються не «двійкові», а скажімо, «трійкові» елементи, то ми змінюємо у формулі основу ступеня.

Завдання 3: Світлове табло складається з лампочок. Кожна з лампочок може бути в одному з трьох станів («ввімкнено», «вимкнена» або «блимає»). Яка найменша кількість лампочок повинна бути на табло, щоб за його допомогою можна було передати 18 різних сигналів.

У разі N = 18, основа ступеня – 3. Необхідно знайти i. Якщо логарифми ще не знайомі, визначаємо методом підбору – 5. Відповідь: 5 лампочок

Далі розглянемо розв'язання задач на кодування текстової, графічної та звукової інформації.

Тут важливо провести паралелі:

Інформація, що обробляється на комп'ютері, повинна бути представлена у вигляді кінцевої множини елементів (символ для тексту, точка – для графіки, фрагмент звукової хвилі – для звуку), кожен з яких кодується окремо з використанням заданої кількості біт. Залежність кількості елементів, що можутьбути закодовані, від кількості бітів, що відводяться, на кодування одного елемента, як і раніше, визначаємо за формулою Хартлі.

А шляхом множення кількості елементів (k) на «інформаційну вагу» одного з них визначаємо загальну кількість інформації в текстовому, графічному, звуковому фрагменті (Q).

Кожне завдання можна вирішити, позначивши заданими змінними відомі дані, і виразивши одну змінну через іншу. Тільки необхідно пам'ятати, що безпосередньо розрахунки найчастіше виробляються в мінімальних одиницях виміру (бітах, секундах, герцах), а потім, якщо необхідно, відповідь перекладається у більші одиниці виміру.

Розглянемо конкретні приклади:

Алфавітний підхід дозволяє визначити кількість інформації, що міститься в тексті. Причому під «текстом» у разі розуміють будь-яку кінцеву послідовність знаків, несучу інформаційне навантаження. Тому позначення змінних для завдань групи C однаково застосовні як для задач на передачу звичайної текстової інформації за допомогою комп'ютера (i = 8, N = 256 або i = 16, N = 16256) так і для задач на передачу повідомлень за допомогою будь-яких інших алфавітів (тут і далі використовуються різні назви, що зустрічаються у завданнях):

i – кількість біт, що використовується для кодування одного текстового знака, рівнозначно: кількість інформації (у бітах), що міститься в ньому, інформаційна «вага», інформаційний «обсяг» одного знака;
N - повна кількість знаків в алфавіті, який використовується для передачі повідомлення, потужність алфавіту;
k – кількість знаків у повідомленні;
Q – кількість інформації у повідомленні (інформаційна «вага», «обсяг» повідомлення), кількість пам'яті, відведена для зберігання закодованої інформації;

Завдання 4: Обсяг повідомлення – 7,5кбайт. Відомо, що це повідомлення містить 7680 символів. Яка потужність алфавіту?

Q = 7,5 Кбайт = 7680 байт (у разі немає необхідності переведення в біти);

Рішення: i = Q/k = 1 байт = 8 біт; N = 2 8 = 256

Відповідь: 256 знаків

Завдання 5: Даний текст із 600 символів. Відомо, що символи беруться із таблиці розміром 16 на 32. Визначте інформаційний обсяг тексту в бітах.

k = 600; N = 16*32

N = 24 * 25 = 29; i = 9; Q = 600 * 9 = 5400 біт;

Завдання 6: Потужність алфавіту дорівнює 64. Скільки кбайт пам'яті потрібно зберегти 128 сторінок тексту, що містить в середньому 256 символів на кожній сторінці?

N = 64; k = 128*256

64 = 2 i; i = 6; Q = 128 * 256 * 6 = 196608 біт = 24576 байт = 24 Кбайт;

Завдання 7: Для кодування нотного запису використовується 7 значків-нот. Кожна нота кодується тим самим мінімально можливою кількістю біт. Чому дорівнює інформаційний обсяг повідомлення, що складається із 180 нот?

7 = 2 i; i = 3 (із запасом); Q = 180 * 3 = 540 біт;

Розглядаючи завдання груп D та E, згадуємо, що при кодуванні графіки та звуку проводиться дискретизація, тобто розбиття зображення на кінцеву множину елементів (пікселів) та звукової хвилі на кінцеву множину відрізків, кількість яких залежить від кількості вимірювань у секунду рівня звуку (частоти дискретизації) ) та часу звучання звукового файлу.

загальна кількість елементів у графічному файлі (k) дорівнює роздільній здатності зображення або роздільній здатності екрана монітора, якщо зображення формується на весь екран,
загальна кількість елементів у звуковому файлі (k) дорівнює добутку частоти дискретизації на час звучання (важливо при цьому використовувати як одиниці вимірювання мінімальніодиниці – герці та секунди).

Розглянемо всю систему позначень для цього типу завдань:

Завдання 8: Для зберігання растрового зображення розміром 64 на 64 пікселі відвели 512 байтів пам'яті. Якою є максимально можлива кількість кольорів на панелі зображення?

k = 64 * 64 = 212; Q = 512 байтів = 29 * 23 = 212 біт;

i = Q / k = 2 12 / 2 12 = 1; N = 21 = 2

Завдання 9: Скільки пам'яті потрібно для зберігання 64-колірного растрового графічного зображення розміром 32 на 128 пікселів?

N = 64; k = 32*128;

i = 6 (за формулою Хартлі); Q = 32 * 128 * 6 = 24576 біт = 3072 байт = 3 Кбайт

Завдання 10: Оцініть інформаційний об'єм моноаудіофайлу тривалістю звучання 1 хвилина, якщо глибина кодування дорівнює 16 біт за частотою дискретизації 8 кГц

k = 60*8000; i = 16;

Q = 60 * 8000 * 16 = 7680000 біт = 960000 байт = 937,5 Кбайт

Відповідь: 937,5 Кбайт

(Якщо файл стерео, Q буде більшим у 2 рази).

Завдання 11: Розрахуйте час звучання моноаудіофайлу, якщо при 16-бітному кодуванні та частоті дискретизації 32 кГц його обсяг дорівнює 625 Кбайт

i = 16; k = 32000*t; Q = 625 кбайт = 640 000 байт = 5120000 біт;

k = Q/i; k = 5120000/16 = 320000; t = 320000/32000 = 10 сек

Відповідь: 10 секунд

У цю ж схему укладається вирішення завдань на швидкість передачі будь-якого типу, якщо в добре відомої учням формулі:

S = V * t прийняти S = Q (кількість переданої інформації замість відстані).

Завдання 12: Скільки секунд потрібно звичайному модему, що надсилає повідомлення зі швидкістю 28800 біт/сек, щоб передати кольорове растрове зображення розміром 640 на 480 пікселів, за умови, що колір кожного пікселя кодується трьома байтами?

V = 28 800 біт/сек; k= 640*480; i = 3 байт = 24 біт;

t = S(Q)/V; Q = k * i = 640 * 480 * 24 = 7372800 біт; t = 7372800/28800 = 256 сек.

На закінчення відзначимо, що після певної тренування розв'язання задач за формулами, багато учнів перестають потребувати їх прописування в завданні, одночасно визначаючи порядок необхідних арифметичних дій для її вирішення.