Закон повного струму

Вихровий характер магнітного поля проявляється також щодо циркуляції вектора напруженості поля. Циркуляцією вектора по замкнутому контуру називається інтеграл виду

(15.13)

[dℓ— вектор елементарної довжини контуру, спрямованої вздовж обходу контуру, Bcosα — складова вектора B у напрямку до контуру, α — кут між векторами і dℓ].

Виберемо в магнітному полі нескінченного прямолінійного провідника зі струмом I довільний контур, що збігається з однією з силових ліній, що охоплюють струм. Силові лінії нескінченно довгого прямолінійного провідника є концентричними колами. У кожній точці цього контуру вектор однаковий за модулем; отже, циркуляція вектора дорівнює

(15.14)

[r0 - радіус обраної силової лінії, тобто коло.

Якщо контур охоплює систему струмів, то струми складаються.

Закон повного струму для магнітного поля у вакуумі (теорема про циркуляцію вектора В): циркуляція вектораза довільним замкнутим контуром дорівнює добутку магнітної постійної μ0 на алгебраїчну суму струмів, що охоплюються цим контуром:

(15.15)

де n – число провідників із струмами, що охоплюються контуром L довільної форми.

Кожен струм враховується стільки разів, скільки він охоплюється контуром. Позитивним вважається струм, якщо його напрямок відповідає переміщенню правовинтового свердла при обертанні його відповідно до обраного напряму обходу контуру. Струм протилежного напряму вважається негативним.

Наприклад, якщо контур охоплює три струми (рис. 15.5: 1 та 2 – позитивні, 3 –негативний), то закон повного струму для цього випадку має вигляд:

(15.16)

Вираз справедливий лише для поля у вакуумі, оскільки, як буде показано нижче, для поля в речовині необхідно враховувати молекулярні струми.

Порівнюючи вирази для циркуляції векторів( ) і ( ), бачимо, що з-поміж них існує принципова відмінність. Циркуляція вектора Е електростатичного поля завжди дорівнює нулю, тобто. електростатичне поле є потенційним. Циркуляція вектора магнітного поля не дорівнює нулю. Таке поле називаєтьсявихровим.

ØМагнітне поле соленоїда та тороїда

Магнітне поле струму можна посилити, якщо провід, яким йде струм, згорнути у формі гвинтової спіралі. В результаті цьогоциліндричну котушку, що складається з великої кількості намотаних впритул один до одного витків провідника. називаютьсоленоїдом. При пропусканні через соленоїд електричного струму всередині та поза соленоїдом виникає магнітне поле, напруженість якого пропорційна силі струму та (приблизно) числу витків. Соленоїд з магнітним сердечником є ​​електромагніт.

Всередині соленоїда поле спрямоване у бік, що визначаєтьсяправилом обхвату правою рукою для котушки стоком (рис.15.6):якщо обхопити соленоїд долонею правої руки, направивши чотири пальці по току у витках, то відставлений великий палець покаже напрямок магнітних ліній усередині соленоїда.

Як і магніт, у соленоїда є два полюси – північний N і південний S. Силові лінії магнітного поля виходять з північного полюса і входять у південний. Характер взаємодії соленоїда такий самий, як у магнітів, різноіменні магнітні полюси притягуються, а однойменні відштовхуються.

На відміну від електричних зарядів окремихмагнітних полюсів немає. Скільки б ми не ділили магніт навпіл ми не отримаємо окремо північного та південного полюса.

Розрахуємо, застосовуючи теорему про циркуляцію, індукцію магнітного поля всерединісоленоїда. Розглянемо соленоїд завдовжки ℓ, що має N витків, яким тече струм (рис.15.7). Довжину соленоїда вважаємо набагато більше, ніж діаметр його витків, тобто. розглянутий соленоїд нескінченно довгий. Поле нескінченно довгого соленоїда зосереджено цілком усередині нього, а поле поза соленоїдом можна знехтувати.

Для знаходження магнітної індукції Виберемо замкнутий прямокутний контур 1234. Циркуляція вектораВ по замкнутому контуру 12341, що охоплює все N витків, дорівнює

Інтеграл по 12341 можна подати у вигляді чотирьох інтегралів: по 12, 23, 34 і 41.

На ділянках 23 і 41 контур перпендикулярний лініям магнітної індукції cos90°=0, тому В= 0. На ділянці поза соленоїдом34 В=0. На ділянці 12 циркуляція вектора дорівнює Вℓ (контур збігається з лінією магнітної індукції); отже,

приходимо до виразу для магнітної індукції поля всередині соленоїда (у вакуумі):

(15.17)

Важливе значення для практики має магнітне поле тороїда.

Тороїд– кільцева котушка, витки якої намотані на сердечник, що має форму тору (рис.15.8). Магнітне поле зосереджено всередині тороїда, поза його поле відсутнє.

Лінії магнітної індукції в даному випадку, як випливає з міркувань симетрії, є кола, центри яких розташовані по осі тороїда. Як контур виберемо одну таку коло радіуса r. Тоді за теоремою про циркуляцію

Звідси випливає, що магнітна індукція всередині тороїда (у вакуумі)

(15.18)

де N - Число витків тороїда. Якщо контурпроходить поза тороїда, то струмів він не

охоплює і В∙2πr = 0. Це означає, що поле поза тороїдом відсутнє.

Площадка S знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцієюВ (рис.15.9). Проведемо лінії магнітної індукції крізь цей майданчик та її проекцію S0 на площину, перпендикулярну до цих ліній. Число ліній, що пронизують майданчики S та S0 однаково.

Магнітним потоком ( потоком вектора магнітної індукції), що пронизує майданчик S, називають скалярну величину, рівну

v Одиниця магнітного потоку – вебер (Вб).

З малюнка випливає, що S0 = S cosα, звідки

Ф = ВS cosα (15.19)

( Вn = В cosα - проекція вектора на напрямок нормалі до майданчика. Так як Вn - скаляр, то і магнітний потік - величина скалярна).

Магнітний потік дорівнює числу ліній магнітної індукції, що проходять крізь цю поверхню. Враховуючи це, вважатимуться, що, характеризує щільність потоку магнітної індукції.

У разі неоднорідного магнітного поля поверхню довільної форми розбиваємо на елементарні майданчики, в межах яких вважаємо однорідним поле, тоді

Повний потік крізь розглянуту поверхню дорівнює

Якщо поверхня замкнута, то справедлива теорема Гауса для поля В:потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

(15.20)

Вона свідчить про відсутність у природі магнітних набоїв, тобто. замкнутість магнітних силових ліній.

Розрахуємо потік вектора через соленоїд

Магнітна індукція всередині соленоїда з сердечником з магнітною проникністю μ дорівнює

Магнітний потік через один виток соленоїда площею S дорівнює

а повний магнітний потік, зчеплений з усіма виткамисоленоїда і званийпотокозчепленням,

(15.21)

---