Застосування інтегралів
Ми навчилися обчислювати інтеграли від багаточленів. Цього вже достатньо, щоб мати можливість вирішувати багато математичних та фізичних завдань. Покажемо для початку, як просто виходять за допомогою інтегралів деякі формули, що вивчаються у школі.
Виведемо формулу шляху рівноприскореного руху. Якщо початкова швидкість тіла в момент t=0 дорівнюєv0,а прискорення руху дорівнює а, то в момент часу t швидкість тіла становитимеv(t)=v0+at.Тому за формулою (3) шлях, пройдений тілом з початку руху до моментуТ,виражається формулою:
Виведемо тепер деякі геометричні формули. Спочатку знайдемо, чому дорівнює обсяг кулі радіусуR.Звичайно, нам достатньо знайти обсяг півкулі, а потім її подвоїти. Розсічемо півкулю площиною, паралельною його основі і віддаленої на х від основи (рис. 14). У перетині вийде коло радіусу
(це виходить, якщо застосувати теорему Піфагора до трикутникаОАВ).Тому площа перетину дорівнює:
Але тоді обсяг півкулі (висота його дорівнюєR)виражається формулою:
Отже, обсяг усієї кулі дорівнює 4/3Пі*R 3 .
Але за допомогою інтегрального обчислення можна знайти і такі площі та обсяги, які не вивчаються у школі. Знайдемо, наприклад, площа параболічного сегментаАОВА, уякого хордаАВдорівнює b,а стрілкаОСдорівнюєh(рис. 15). Рівняння параболи має вигляду=ах 2 .У точці з абсцисоюх=b/2 ординатаADповинна дорівнювати довжині стрілкиh.Тому
Але це означає, що
Отже, наш параболічний сегмент обмежений знизу параболою, у якої в точці з абсцисоюхордината
Ми легко можемо тепер знайти площу криволінійного трикутникаОАD.формулам (2) і (7) вона дорівнює:
Площа ж прямокутникаABEDдорівнюєbh.Але площа параболічного сегмента вийде, якщо з площі прямокутника відняти подвоєну площу трикутникаОАО,тобто вона дорівнює2bh/3.
Круговий сегмент, що має невеликий центральний кут, можна приблизно замінити параболічним сегментом з тією ж хордою і тією ж стрілкою (рис. 16). Тому для площі кругового сегмента має місце наближена формула:
Наприклад, якщо центральний кут дорівнює 60°, наближена формула дає результат 0,0893. R 2 а точна 0,0906...R 2 .Таким чином навіть для такого порівняно великого центрального кута, як 60°, наведена формула дає точність до 1,5%.