Застосування теореми піфагору
Розглянемо приклади практичного застосування теореми Піфагора. Не намагатимемося навести всі приклади використання теореми – це навряд чи було б можливим. Область застосування теореми досить широка і взагалі може бути зазначена з достатньою повнотою. Визначимо можливості, які надає теорема Піфагора для обчислення довжин відрізків деяких фігур на площині.
Діагональ d квадратазі стороною а можна розглядати як гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом а. Таким чином,
Діагональ d прямокутниказі сторонами а і b обчислюється подібно до того, як обчислюється гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами a і b. Ми маємо
Висота h рівностороннього трикутниказі стороною а може розглядатися як катет прямокутного трикутника, гіпотенуза якого а, а інший катет a/2. Таким чином маємо
Можливості застосування теореми Піфагора до обчислень не обмежуються планіметрією.
Міркування, подібне до цього, можна провести і дляпрямокутного паралелепіпедаз ребрами a, b, с і отримати для діагоналі вираз
d=a+b+c. Досліджуємо піраміду, наприклад, таку, в основі якої лежить квадратта висота якої проходить через центр цього квадрата (правильну піраміду).
s=h+(1/2)a. Потім можемо обчислити висоту h1 бічних граней.
h1 = h + (1/4) a. Вважати ці додатки теореми Піфагора лише теоретичними - велика помилка. Якщо, наприклад, розглядати нашу чотирикутну піраміду як дах вежі, то в першому нашому питанні йдеться про те, якої довжини потрібно зробити бічні ребра, щоб при даній площі горища була витримана висота даху, а питання про величину бічної поверхні повинен цікавити, наприклад , покрівельника при підрахунку вартості покрівельних робіт Зауважимо, що розрахунок площі покрівлі можна помітно спростити, якщо скористатися одним дуже простим правилом, справедливим у всіх випадках, коли всі скати даху, хоч би скільки їх було, мають однаковий ухил. Воно говорить:
"Щоб знайти поверхню даху, всі скати якої мають рівний ухил, потрібно помножити площу, що перекривається, на довжину якого-небудь крокви і розділити отриманий твір на проекцію цього крокви 'sq' на площу, що перекривається."
- ширині вікна (b) длязовнішніх дуг
- половині ширини, (b/2) для внутрішніх дуг
Оскільки вона укладена між двома концентричними колами, то її діаметр дорівнює відстані між цими колами, тобто b/2 і, отже, радіус дорівнює b/4. А тоді стає зрозумілим і становище її центру. У розглянутому прикладі радіуси знаходилися без жодних труднощів. В інших аналогічних прикладах можуть знадобитися обчислення; покажемо, як застосовується у таких завданнях теорема Піфагора.
У романській архітектурі нерідко зустрічається мотив, представлений малюнку. Якщо b, як і раніше, позначає ширину вікна, то радіуси півкола будуть рівні R = b / 2 і r = b / 4. Радіус p внутрішнього кола можна обчислити з прямокутного трикутника, зображеного на рис. пунктиром. Гіпотенуза цього трикутника, що проходить через точку торкання кіл, дорівнює b/4+p, один катет дорівнює b/4, а інший b/2-p. За теоремою Піфагора маємо:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) або b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p, звідки bp/2=b/4-bp. Поділивши на b і наводячи подібні члени, отримаємо: (3/2)p=b/4, p=b/6.
У будинку задумано побудувати двосхилий дах (форма в перерізі).Якої довжини повинні бути крокви, якщо виготовлені балкиAC=8 м, іAB=BF.Рішення:ТрикутникADC- рівнобедренийAB=BC=4 м,BF=4 мЯкщо припустити, щоFD=1,5 м, тоді: А) З трикутникаDBC: DB=2,5 мБ) З трикутникаABF:
Блискаввідвід
Блискавковідвід захищає від блискавки всі предмети, відстань яких від його підстави вбирається у подвоєної висоти.Визначити оптимальне положення блискавковідводу надвосхилим даху, що забезпечує найменшу його доступну висоту.Рішення:За теоремою Піфагора h 2 ≥ a 2 +b 2 , означає h ≥ (a 2 +b 2 ) ½ .Відповідь:h ≥ (a 2 +b 2 ) ½
Астрономія
На цьому малюнку показані точкиAіBі шлях світлового променя відAдоBі назад. Шлях променя показаний вигнутою стрілкою для наочності, насправді світловий промінь - прямий.
Який шлях проходить промінь?Оскільки світло йде туди і назад однаковий шлях, запитаємо відразу: чому дорівнює половина шляху, який проходить промінь? Якщо позначити відрізокABсимволомl, половину часу якt, а також позначивши швидкість руху світла буквоюc, то наше рівняння набуде вигляду
Очевидно? Адже це твір витраченого часу на швидкість!
Тепер спробуємо поглянути на те саме явище з іншої системи відліку, з іншого погляду, наприклад, з космічного корабля, що пролітає повз бігаючого променя зі швидкістюv. Раніше ми зрозуміли, що при такому спостереженні швидкості всіх тіл зміняться, причому нерухомі тіла рухатимуться зі швидкістюvу протилежний бік. Припустимо, що корабель рухається вліво. Тоді дві точки, між якими бігає зайчик, рухатимуться вправо з тією ж швидкістю. Причому, поки зайчик пробігає свій шлях, вихідна точкаAзміщується і промінь повертається вже у нову точкуC.
Питання: на скільки встигне зміститься точка (щоб перетворитися на точкуC), поки подорожує світловий промінь? Точніше, знову спитаємо про половину цього усунення! Якщо позначити половину часу подорожі променя буквоюt', а половину відстаніACбуквоюd, то отримаємо наше рівняння у вигляді:
Буквоюvпозначено швидкість руху космічного корабля. Знову очевидно, чи не так?
Інше питання: який шлях при цьому пройде промінь світла?(Точніше, чому дорівнює половина цього шляху?
Якщо позначити половину довжини шляху світла буквоюs, то отримаємо рівняння:
Тутc- це швидкість світла, аt'- це теж час, які ми розглядали на формули вище.
Тепер розглянемо трикутникABC. Це рівнобедрений трикутник, висота якого дорівнюєl. Так-так, тому самомуl, яке ми ввели при розгляді процесу з нерухомої точки зору. Оскільки рух відбувається перпендикулярноl, воно не могло вплинути на неї.
ТрикутникABCскладений із двох половинок - однакові прямокутних трикутників, гіпотенузи якихABіBCповинні бути пов'язані з катетами за теоремою Піфагора. Один з катетів - цеd, яке ми розрахували щойно, а другий катет - цеs, який проходить світло, і який ми теж розрахували. Отримуємо рівняння:
Адже це просто теорема Піфагора, так?
Наприкінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних до людини, це стало наслідком відкриттів італійського астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали які довгий час вважалися штучними) та ін. Природно, що питання про те, чи можна за допомогою світлових сигналів пояснюватися цими гіпотетичними істотами викликав жваву дискусію. Паризькою академією наук була навіть встановлена премія в 100 000 франків тому, хто перший встановить зв'язок з якимсь мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все щечекає на щасливця. Жартома, хоч і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.
Невідомо, як це зробити; але всім очевидно, що математичний факт, висловлюваний теоремою Піфагора має місце всюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.
мобільний зв'язок
Нині ринку мобільного зв'язку йде велика конкуренція серед операторів. Чим надійніший зв'язок, що більше зона покриття, то більше вписувалося споживачів в оператора. При будівництві вежі (антени) часто доводиться вирішувати задачу: Яку найбільшу висоту повинна мати антена, щоб передачу можна було приймати в певному радіусі (наприклад радіусіR = 200 км?, якщо відомо. що радіус Землі дорівнює 6380 км.)Рішення:Нехай AB = x, BC = R = 200 км, OC = r = 6380 км.OB = OA + ABOB = r + xВикористовуючи теорему Піфагора, отримаємо відповідь.Відповідь:2,3 км.