ЗОВНІШНІЙ ТВОРІВ

ЗОВНІШНІЙ ТВОРІВ - основна операція зовнішньої алгебри тензорів, визначених у n-мірному векторному просторі V над полем K.

Нехай e1, . en - базис V, а і b - р- та q-форми:

Зовнішній твір форм а і b є (р + q)-форма c, що виходить альтернативою тензорного твору з Р Форма з позначається а b; вона має кососиметричні координати

де - компоненти узагальненого Кронекера символу. Аналогічно визначається Ст п. коваріантних тензорів.

Основні властивості Ст п.:

1) (kа) ∧ b = а ∧ (kb) = k(a ∧ b), k ∈ K - однорідність,

2) (а + b) ∧ с = a ∧ с + b ∧ с – дистрибутивність,

3) (а ∧ b) ∧ с = а ∧ (b ∧ c) – асоціативність.

4) а ∧ b = (-1) pq b ∧ а; якщо характеристика поля До відмінна від двох, то для форми а неяєтної валентності а ∧ a = 0.

В. п. s векторів зв. розкладний s-вектор. Кожен поливектор розмірності s є лінійною комбінацією розкладних s-векторів. Компоненти розкладання є s × s-мінорами n × s-матриці (а i j), 1 ≤ i ≤ n, коефіцієнтів векторів a1, . as. При s = n їх В. п. має вигляд:

Над полями характеристики, яка відрізняється від двох, рівність a1 ∧ . ∧ as = 0 необхідно достатньо для лінійної залежності векторів a1, . as. Ненульовий розкладний s-вектор αs визначає V s-вимірний орієнтований підпростір А, паралельне векторам a1, . as і паралелотоп, що лежить в А і утворений векторами a1, . as, що виходять із однієї точки (цей паралелотоп позначається через [a1, . as]). Умови а ∈ А та αs ∧ a = 0 еквівалентні.

Літ. див. при статті Зовнішня алгебра.

Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.