16. Проблема синтезу лінійних електричних кіл
16.6. Завдання реалізації у синтезі електричних кіл. Синтез реактивних двополюсників
Ідея будь-якого методу синтезу двополюсників полягає в тому, що знаходиться спосіб розкладання заданої операторної функції на простіші функції, за якими вже легко відновити схему. Наприклад, нехай вхідний опір виражається формулою
Розділивши почленно чисельник на знаменник, отримаємо:
З цього запису очевидно, що відповідна схема складається з послідовного з'єднання резистора a1/b1 ємності b1/a0.
Нагадаємо загальні властивості реактивних двополюсників (див. 4.5. Частотні характеристики реактивних двополюсників). Ці властивості випливають з того факту, що LС-двополюсники не можуть розсіювати енергію, тому при p = j речова частина функції опору та провідності дорівнює нулю
Таким чином, опір (провідність) двополюсника є уявною функцією частоти, а нулі та полюси відповідної операторної функції лежать на уявній осі, чергуються і є простими, а відрахування в полюсах – позитивними. Так як коефіцієнти операторної вхідної функції є речовими, то нулі та полюси складають комплексно-сполучені пари. Враховуючи сказане, операторний опір реактивного двополюсника можна записати у вигляді
Об'єднуючи попарно комплексно-сполучені нулі та полюси отримуємо (див. табл. 4.1): (16.15)
Нагадаємо, що чергування нулів та полюсів відображається нерівністю (16.16)
Якщо задана функція Z(p) має властивості вхідного опору реактивних двополюсників, то кажуть, що вона задовольняє умовам фізичної реалізованості. Це означає, що існують схеми двополюсників із реальними значеннями елементів, вхідний опір якихописується заданою функцією Z(p).
В результаті синтезу часто одержують двополюсники у вигляді канонічних схем Фостера або Кауера (подібні схеми існують і для RLC-двополюсників).
Для ілюстрації ідеї синтезу обмежимося розглядом лише реактивних двополюсників.
Метод Фостера. Розглянемо метод синтезу LC-двополюсників, запропонований Фостером. Відповідно до цього методу функцію опору чи функцію провідності, як будь-яку дробно-раціональну функцію, можна як суми дробів (згадаємо, наприклад, теорему розкладання).
Для двополюсників, побудованих за першою формою Фостера, найбільш загальною є схема, зображена на рис. 16.4. Інші схеми можуть бути отримані з неї шляхом "видалення" відповідних елементів Lа і Са.
Можна скласти вираз для вхідного опору Z(p), що відбиває структуру рис. 16.4: (16.17)
Перші два складові відповідають послідовному з'єднанню елементів Lа і Са, інші – послідовному з'єднанню паралельних контурів з елементами L2 і С2, L4 і С4 і т.п. Існують формули для розрахунку елементів цієї схеми. Наведемо їх без доказу: (16.18)
Процедура синтезу двополюсників за першою формою Фостера зводиться, таким чином, до представлення заданого раціонального дробу Z(p) у вигляді (16.17) та розрахунку елементів за формулами (16.18). Зауважимо, що перший доданок існуватиме у виразі (16.17) тоді, коли заданий дріб Z(p) неправильний, тобто ступінь чисельника на одиницю перевищуватиме ступінь знаменника. Число елементів двополюсника відповідає найвищому зі ступенів чисельника та знаменника заданого дробу Z(p). При парних ступенях знаменника (16.17) зникає другий доданок 1/(рСа).
Приклад. Дановираз
Здійснимо синтез двополюсника за першою формою Фостера. Можна показати, що задана функція Z(p) фізично реалізується. Представимо Z(p) як (16.17): (16.17a)
Розрахунок елементів зробимо за формулами (16.18): С1 = 1165 мкФ; С3 = 7,0 мкФ; L1 = 1/(2 2 С1) = 28,6 мГн; L3 = 1/(4 2 С3) = 0,84 мГн.
Схема двополюсника складається з чотирьох елементів (найвищий ступінь дробу – 4): послідовно з'єднаних двох паралельних коливальних контурів з елементами L1, С1 та L3, С3. Відсутність у схемі котушки індуктивності Lа обумовлена тим фактом, що дріб Z(p) правильний. Внаслідок парності ступеня знаменника у схемі відсутня конденсатор Са.
Аналогічним чином здійснюється синтез двополюсників за другою формою Фостера. І тут найбільш загальної є схема на рис. 16.5.