2.3.2. Основні поняття теорії розмірності
Розмірні та безрозмірні величини
Величини, числові значення яких залежать від прийнятих масштабів, тобто. від системи одиниць виміру, називаютьсярозмірними величинами.
Величини, числові значення яких не залежать від системи одиниць вимірювання, називаються безрозмірними величинами.
- Довжина, час, сила, енергія, момент сили і т.д. -розмірні величини;
- кути, відношення двох довжин, відношення квадратів довжини до площі, відношення енергії на момент сили тощо. -безрозмірні величини.
Основні та похідні одиниці виміру
Різні фізичні величини пов'язані між собою певними співвідношеннями.
Тому якщо деякі з цих величин прийняти за основні і встановити для них якісь одиниці виміру, то одиниці виміру всіх інших величин будуть певним чином виражатися через одиниці виміру основних величин.
Прийняті основних величин одиниці виміру називаються основними, проте інші – похідними.
На практиці достатньо встановити одиниці виміру для 3 (трьох) величин, яких саме залежить від конкретних умов завдання.
Так уфізичнихдослідженнях зручні одиниці:
У системі СІ (з 1963 р. в СРСР) за основні величини прийнято:
- механічні одиниці виміру: -метр;
- одиниці сили струму -ампер;
-одиниця термодинамічної температури– кельвін (К);
- кількості речовини -моль.
Після встановлення основних одиниць виміру одиниці виміру для інших механічних величин виходять автоматично.
Вираз похідної одиниці виміру через основні одиниці виміру називається розмірністю.
Критеріїподоби можна одержати з теорії розмірності.
Розмірність даної фізичної величини визначається співвідношенням між нею та тими фізичними величинами, які прийняті за основні.
У кожній системі одиниць є свої основні одиниці.
Розмірність похідних одиниць приймається з урахуванням фізичних законів, встановлюють зв'язок між цими одиницями. Цей зв'язок може бути представлений у вигляді формули, яка називається формулою розмірності.
Таблиця. Символи одиниць вимірювання та формули розмірності
Формули розмірності (символи та вирази)
Для позначення розмірності будь-якої величиниавикористовується символ [а].
Наприклад, для розмірності силиFу фізичній системі позначають:
Теорія розмірності заснована на двох положеннях:
1). Відношення двох чисельних значень якої-небудь похідної величини не залежить від вибору масштабів для основних одиниць вимірювання. (Наприклад, відношення двох площ не залежить від того, в яких одиницях вимірюватимуться площі).
2). Будь-яке співвідношення між розмірними величинами можна сформулювати як співвідношення між безрозмірними величинами (це положення теорії розмірності називають П-теоремой).
З першого положення випливає, що формули розмірності повинні мати вигляд статечних одночленів, тобто.
де
Встановити залежність коефіцієнта лобового опору тіла, обтічного газовим потоком (повітрям)сxвід основних показників, що входить у вираз
Припустимо, щозxзалежить від розмірних величин:
.
Користуючись формулою розмірності, можна знайти безрозмірні комбінації зазначених фізичних величин, представивши їх розмірності статечним одночленом
.
Для знаходження показниківa,d,c,nпідставимо до цієї формули значення розмірностей фізичних величин, наприклад, у системі СІ.
Підставивши ці величини в статечному одночлені, отримаємо
.
Звідси щодо основних одиниць виміру маємо три наступні рівняння:
Вирішимо ці рівняння, вважаючи один із показників, наприклад, n, відомим. Отримаємо
.
Отже, коефіцієнтзxпри малих швидкостях залежить від числаRe.Показник ступеняReможна знайти з експерименту або будь-яких додаткових даних про механізм опору тіла
За теорією подібності в подібних газових потоках однакові аеродинамічні коефіцієнти. Зокрема, для повної аеродинамічної силиRпри повній подобі має місце
Провівши експеримент, за подібних умов, результати моделювання можна переносити на натуру. Оскільки повна подоба практично неможлива, то аеродинамічні характеристики, визначені в лабораторних умовах, лише приблизно рівні відповідним характеристикам об'єкта.
Очевидно, що найдостовірніші результати можуть дати лише натурні випробування.
Найчастіше моделювання грунтується на розгляді фізично подібних явищ.
Механічну або взагалі фізичну подобу можна розглядати як узагальнення геометричної подоби.
Як відомо ще з курсу шкільної програми з математики, дві геометричні фігури подібні, якщо відносини всіх відповідних довжин однакові.
При цьому якщовідомий коефіцієнт подібності (масштаб), то простим множенням на масштаб розмірів однієї геометричної фігури виходять розміри іншої, їй подібної до геометричної фігури.
Існують різні способи визначення механічної чи фізичної подоби.
Два явища подібні, якщо за заданими характеристиками одного можна отримати характеристики іншого простим перерахунком, який аналогічний переходу від однієї системи до іншої.
При цьому для здійснення перерахунку необхідно знати лишеперехідні масштаби.
Числові характеристики для двох різних, але подібних явищ можна розглядати як числові характеристики одного й того самого явища, виражені в різній системі одиниць виміру.
Для будь-якої сукупності подібних явищ усі безрозмірні характеристики (безрозмірні комбінації з розмірних величин) мають однакові числові значення. Ці комбінації називаютьсякритеріями подібності.
Зворотний висновок також справедливий:якщо всі безрозмірні характеристики для двох рухів (явлень) однакові, то рухи (яви) подібні.
Отже, необхідною і достатньою умовою подібності двох явищ буде сталість числових значень безрозмірних комбінацій, що утворюють основу, тобто. систему безрозмірних величин, які визначають собою решту.