§ 3. Взаємно однозначна відповідність
Визначення.ВідображеннямfмножиниХумножинаYназивається така відповідність між множинамиХіY, при якому кожному елементухХвідповідає єдиний елементуY.
Визначення. Якщо безліч значень відображенняfзбігається з безліччю прибуття цього відображення, тоfназивають відображенням множиниХнамножинаY. У математиці таке відображення називається сюр'єктивним.
Визначення. Якщо повний прообраз кожного елементауYмістить не більше одного елемента (може бути і порожнім), то таке відображення називається ін'єктивним.
Визначення. Відображення, що має властивості ін'єктивності та сюр'єктивності, називається взаємно однозначним.
Іншими словами: відображенняfмножиниХна множинуYназивається взаємно однозначним, якщо двом різним елементамх1іх2множиныХвідповідає два різні елементиу1іу2 множиниY.
Приклад.Х– безліч вершин трикутникаАВС,Y– безліч сторін трикутникаАВС.
Поставимо у відповідність кожній вершині трикутника його бік, що лежить навпроти цієї вершини. Дане відображення взаємно однозначно, причому кожен елемент множиниХмає єдиний образ, а кожен елемент множиниY- єдиний прообраз.
§ 4. Рівнопотужні множини. Рахункові та незлічені множини
Визначення. Дві множиниХіYрівносильні, якщо існує взаємно однозначне відображення множиниХна множинуY.(Позначають:ХY).
Приклад. Безліч сторін чотирикутника та безліч його кутів.
Поняття рівнопотужності застосовується якдо кінцевих, так і до нескінченних множин.
Дві кінцеві множини рівносильні тоді і тільки тоді, коли вони містять однакову кількість елементів (рівноважні кінцеві множини називають рівнозначними).
Розглянемо приклади рівномірних нескінченних множин:N– безліч натуральних чисел,А– безліч парних натуральних чисел (АN). Кожному натуральному числу поставимо у відповідність число, яке більше його в 2 рази:
Встановлену відповідність взаємно однозначно, т.к. кожному натуральному числу відповідає однина з множиниYі навпаки: кожне число з множиниYвідповідає єдиному натуральному числу. Отже, безліч натуральних чисел рівномірно безліч парних натуральних чисел.
Визначення. Нескінченна множина, рівномірна множині натуральних чисел, називається численним.
Прикладилічильних множин: цілих чисел, цілих невід'ємних чисел, будь-яке підмножина кожного з цих множин.
Теорема(без підтвердження). Безліч дійсних чисел, укладених між банкрутом і одиницею, незліченна.
Прикладинезліченних множин: безліч усіх дійсних чисел, безліч усіх точок на прямій, безліч усіх точок площини.
Контрольні питання
Дайте визначення декартового твору множин.
Перерахуйте способи завдання декартового твору множин.
У якому відношенні знаходяться множиниX×YіY×X?
Що називають відповідністю між множинамиХіY?
Яку множину називають областю відправлення, областю прибуття, областю визначення та безліччю значень відповідності?
Перелічіть способи завдання відповідності.
Якевідповідність називають відображенням множиниХу множинуY; відображенням множиниХна множинуY?
Яку відповідність називають взаємно однозначною відповідністю?
Які множини називають рівносильними? У якому разі рівносильні кінцеві множини?
Які множини називають рахунковими? Наведіть приклади лічильних та незліченних множин.