5.6. Скалярний потрійний добуток

([a, b], c) = (a × b) c.

деяка прямокутна система координат, скаляр

продукт визначається за формулою

Доведення: Виконання скалярного добутку векторів

a × b = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b x ) j + ( a x b y − a y b x ) k

c = c x i + c y j + c z k

( a × b ) c = ( a y b z − a z b y ) c x + ( a z b x − a x b x ) c y + ( a x b y − a y b x ) c z

a x a y a z = b x b y b z . c x c y c z

Геометрична інтерпретація. Абсолютне значення числа (a × b) c є об’ємом паралелепіпеда, утвореного векторами a, b і c, як показано на малюнку нижче.

добуток

Дійсно, об’єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

За теоремою про скалярний добуток,

( a × b ) c = a × b c cos ϕ .

Величина a × b дорівнює площі паралелограма, а добуток c cos ϕ дорівнює висоті паралелепіпеда.

Наслідок 1: якщо три вектори копланарні, то скалярний потрійний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 2: чотири точки A, B, C і D лежать в одній площині, якщо скаляр

потрійний добуток (AB × AC) AD дорівнює нулю.

5.6.1. Властивості скалярного потрійного добутку

1) За властивостями скалярного добутку a ( b × c ) = ( b × c ) a .

2) З огляду на властивості визначників,