Аксіома паралельності Евкліда, Еквівалентні формулювання постулату про паралельні - Вчення про
Аксіома паралельності Евкліда, абоп'ятий постулат - одна з аксіом, що лежать в основі класичної планіметрії. Вперше наведено у «Початках» Евкліда:
Евклід розрізняє поняттяпостулаттааксіома, не пояснюючи їх відмінності; у різних манускриптах «Почав» Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати по-різному, як і збігається та його порядок. У класичному виданні "Початок" Гейберга сформульоване твердження є п'ятим постулатом.
Сучасною мовою текст Евкліда можна переформулювати так:
Якщо сума внутрішніх кутів із загальною стороною, утворених двома прямими при перетині їх третьої, з однієї зі сторін від січної менше 180°, то ці прямі перетинаються, і притому по ту ж сторону від січної.
П'ятий постулат дуже відрізняється від інших постулатів Евкліда, простих і інтуїтивно очевидних (див. Початки Евкліда). Тому протягом 2 тисячоліть не припинялися спроби виключити його зі списку аксіом та вивести як теорему. Усі ці спроби скінчилися невдачею. «Ймовірно, неможливо в науці знайти більш захоплюючу та драматичну історію, ніж історія п'ятого постулату Евкліда». Незважаючи на негативний результат, ці пошуки були марними, оскільки в кінцевому рахунку призвели до повного перегляду наукових уявлень про геометрію Всесвіту.
Еквівалентні формулювання постулату про паралельні
У сучасних джерелах зазвичай наводиться інше формулювання постулату про паралельні, еквівалентне (рівносильне) V постулату і належить Проклу (за кордоном її часто називають аксіомою Плейфера):
У площині через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.
В ційформулюванні слова «одну і лише одну» часто замінюють на «тільки одну» або «не більше однієї», оскільки існування хоча б однієї такої паралельної відразу випливає з теорем 27 і 28 «Початок» Евкліда.
Взагалі у постулату є безліч еквівалентних формулювань, багато з яких здаються досить очевидними. Ось деякі з них:
§ Існує прямокутник (хоча один), тобто чотирикутник, у якого всі кути прямі.
§ Існують подібні, але не рівні трикутники (аксіома Валліса, 1693).
§ Будь-яку фігуру можна пропорційно збільшити.
§ Існує трикутник скільки завгодно великої площі.
§ Пряма, що проходить через точку всередині кута, перетинає принаймні одну його сторону (аксіома Лоренца, 1791).
§ Через кожну точку всередині гострого кута завжди можна провести пряму, що перетинає обидві сторони.
§ Якщо дві прямі в один бік розходяться, то в інший – зближуються.
§ Прямі, що зближуються, рано чи пізно перетнуться.
§ Варіант: перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої неодмінно перетинаються (аксіома Лежандра).
§ Точки, рівновіддалені від цієї прямої (по одну її сторону), утворюють пряму,
§ Якщо дві прямі почали зближуватися, то неможливо, щоб вони почали (в той же бік, без перетину) розходитися (аксіома Роберта Сімсона, 1756).
§ Сума кутів однакова у всіх трикутників.
§ Існує трикутник, сума кутів якого дорівнює двом прямим.
§ Дві прямі, паралельні третій, паралельні та один одному (аксіома Остроградського, 1855).
§ Пряма, що перетинає одну з паралельних прямих, неодмінно перетне й іншу.
§ Через будь-які три точки можна провести або пряму,або коло.
§ Варіант: для будь-якого невиродженого трикутника існує описане коло (аксіома Фаркаша Бойяї).
§ Справедлива теорема Піфагора.
Еквівалентність їх означає, що всі вони можуть бути доведені, якщо прийняти V постулат, і навпаки, замінивши V постулат будь-яке з цих тверджень, ми зможемо довести вихідний V постулат як теорему.
Якщо замість V постулату припустити, що для пари точка-пряма V постулат невірний, то отримана система аксіом описуватиме геометрію Лобачевського. Зрозуміло, що в геометрії Лобачевського всі перераховані вище еквівалентні твердження невірні.
Система аксіом сферичної геометрії вимагає зміни також інших аксіом Евкліда.
П'ятий постулат різко виділяється з-поміж інших, цілком очевидних, він більше схожий на складну, неочевидну теорему. Евклід, мабуть, усвідомлював це, і тому перші 28 пропозицій у «Початках» доводяться без його допомоги.
«Евкліду, безумовно, мали бути відомі різні форми постулату про паралельні». Чому ж він вибрав наведену, складну та громіздку? Історики висловлювали різні припущення щодо причин такого вибору. В.П. Смілга вважав, що Евклід таким формулюванням вказував на те, що дана частина теорії є незавершеною. М. Клайн звертає увагу на те, що п'ятий постулат Евкліда маєлокальнийхарактер, тобто описує подію на обмеженій ділянці площини, у той час як, наприклад, аксіома Прокла стверджує факт паралельності, який вимагає розгляду всієї нескінченної прямої . Потрібно пояснити, що античні математики уникали використовувати актуальну нескінченність; наприклад, другий постулат Евкліда стверджує не нескінченність прямої, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати». Зточки зору античних математиків, вищенаведені еквіваленти постулату про паралельні могли здаватися неприйнятними: вони або посилаються на актуальну нескінченність або (ще не введене) поняття виміру, або теж не надто очевидні.