Алгебраїчна Геометрія
АЛГЕБРАЇЧНА ГЕОМЕТРІЯ, розділ математики, що вивчає геометричні об'єкти, пов'язані з рішеннями рівнянь алгебри. Такими об'єктами є алгебраїчні різноманіття (криві алгебри, алгебраїчні поверхні, алгебраїчні групи) та їх узагальнення (схеми, алгебраїчні простори). В алгебраїчної геометрії розглядаються відображення двох типів: регулярні (морфізми), що задаються багаточленами, і раціональні, що задаються раціональними функціями. Регулярне відображення, що має зворотне, називається бірегулярним відображенням чи ізоморфізмом; раціональне відображення, що має зворотне, – біраціональним ізоморфізмом. Вихідним завданням геометрії алгебри є класифікація об'єктів з точністю до ізоморфізму або до бираціональної еквівалентності. Класифікація починається з малих розмірностей (дивися алгебраїчна крива, алгебраїчна поверхня). У сучасній алгебраїчної геометрії основний інтерес представляють її взаємозв'язки з іншими математичними дисциплінами: комутативною алгеброю, гомологічною алгеброю, теорією груп, теорією чисел, топологією, диференціальною геометрією, комплексним аналізом, диференціальними рівняннями, математичною кодуванням. В алгебраїчній геометрії виділяються дві групи методів дослідження: алгебро-геометричні, з використанням комутативної алгебри та проективної геометрії, та трансцендентні, з використанням комплексного аналізу та топології.
Виникнення геометрії алгебри відноситься до 17 століття, коли в геометрію були введені системи координат, що дозволяють описувати геометричні фігури як сукупність рішень відповідних рівнянь алгебри. Початковими об'єктами були криві та поверхні 2-го порядку, що вивчаються в аналітичнійгеометрії. З розвитком проективної геометрії з'ясувалося, що проективна класифікація кривих і поверхонь є найбільш природною та доступною для огляду. Геометрична інтуїція, що виникає при зображенні рішень рівнянь алгебри геометричними фігурами, виявилася важливою підмогою при постановках нових завдань і передбаченні результатів. Корисною виявилася і наочність геометричних методів, наприклад, використання методу проектування в біраціональної теорії. Вивчення спеціальних класів кривих алгебри і поверхонь (переважно невеликих порядків) тривало аж до 19 століття, в основному в проективній геометрії. Принципові зміни розвитку алгебраїчної геометрії відбулися наприкінці 18 початку 19 століття у зв'язку з вивченням еліптичних кривих, точніше, еліптичних інтегралів, засобами комплексного аналізу. Вивчалися інтеграли виду
де R(х, у) - раціональна функція, а х і у пов'язані алгебраїчним рівнянням
Рівняння (2) задає плоску афінну криву алгебри. Якщо ця крива раціональна, тобто допускає параметризацію раціональними функціями х = φ(t), у = ψ(t), заміною змінних інтеграл (1) зводиться до інтегралу від раціональної функції і обчислюється в кінцевому вигляді. Однак для еліптичних кривих (і тим більше для кривих алгебри більшого роду) такі інтеграли, як функції верхньої межі, є багатозначними (дивись Абелев інтеграл). Вивчення цих інтегралів заклало основи теорії кривих алгебри. З побудованих Н. Абелем і К. Якобі різноманіттям, які називаються якобієвими різноманіттями, починається загальна теорія найбільш вивчених багатовимірних об'єктів алгебраїчної геометрії - абелевих різноманіттів. Так називаються проектні різноманіття, для точок яких визначено операцію складання. Над полемЗ усі вони є комплексними торами. Одномірне абелеве різноманіття - еліптична крива. Теорія якобієвих різноманіттів кривих алгебри над довільними полями була розвинена в 1940-х роках в роботах А. Вейля.
Значний прогрес у розвитку геометрії алгебри пов'язаний з роботами Б. Рімана. Він запровадив поняття поверхні, що тепер називається риманової поверхнею (одномірним комплексним різноманіттям). Для неособливої проективної кривої Х роду g над полем З її ріманова поверхня - компактна поверхня, що орієнтується з g ручками. Для відображення таких поверхонь у проективному просторі використовуються лінійні простори мероморфних функцій, кратності полюсів яких обмежені дивізорами. Дивізор - кінцева формальна лінійна комбінація точок з цілими коефіцієнтами р.;
Простір мероморфних функцій L, кратності полюсів яких у точках Р обмежені числами nР, виявляються кінцевими. Для їхньої розмірності l(D) Ріман отримав нерівність
Де degD = ∑np – ступінь дивізора D, а g – рід кривої (риманової поверхні) Х.
Німецький математик Е. Рох довів, що
де К - канонічний дивізор, тобто дивізор нулів і полюсів будь-якого диференціала f(z)dz, де f(z) - мероморфна функція на Х (теорема Рімана - Роха). Згодом ця теорема була узагальнена на алгебраїчних різноманіттях будь-якої розмірності спочатку німецьким математиком Ф. Хірцебрухом, а потім у найбільш загальній формі французьким математиком А. Гротендіком. Теорема Рімана - Роха - один з найважливіших технічних засобів в геометрії алгебри.
Істотний внесок у розвиток аналітичної теорії алгебраїчних різноманітностей зробили К. Вейєрштрас, А. Пуанкаре, С. Лефшець, А. Картан, Ж. Лере. Паралельно з аналітичною теорією розвивалася іалгебро-геометрична, починаючи з робіт німецьких математиків А. Клебша та М. Нетера у 1870-х роках. Якщо Абеля і Рімана основним об'єктом була функція, то Клебша і Нетера - сама крива. Було сформульовано загальну програму вивчення кривих алгебри. Найбільший інтерес щодо алгебраїчних кривих в алгебро-геометрической теорії є результати, інваріантні щодо бираціональных перетворень.
Вивчення алгебраїчних різноманіття розмірності, більшої за 1, почалося у 2-й половині 19 століття від поверхонь 3-го порядку. Розвиток біраціональної теорії поверхонь алгебри в 19 - початку 20 століття пов'язано з італійською школою алгебраїчної геометрії (Г. Кастельнуово, Ф. Енріквес, Г. Фано і Ф. Севери). До 1920-х років була практично завершена біраціональна класифікація поверхонь алгебри.
В італійській школі геометрії алгебри переважали геометричні методи. У 1-й половині 20 століття Б. Л. Ван дер Варденом, А. Вейлем та О. Заріським з метою зміцнення основ алгебраїчної геометрії було здійснено алгебраїзацію алгебраїчної геометрії з використанням аксіоматичних методів абстрактної алгебри. Область застосування геометрії алгебри розширилася у бік вивчення алгебраїчних різноманітностей над довільними полями. Інтерес до алгебраїчної геометрії арифметичного типу спочатку виник у зв'язку з ідеєю А. Пуанкаре розглядати теорію порівнянь як теорію рівнянь алгебри над кінцевими полями. На початку 1920-х років німецьким математиком Е. Артіном розвивалася теорія функцій алгебри від однієї змінної з кінцевим полем констант паралельно теорії алгебраїчних чисел. Зокрема, їм було визначено дзета-функцію кривої алгебри над кінцевим полем. Аналог гіпотези Рімана длятаких дзетафункцій рівносильний деякою оцінкою для числа точок на кривій над кінцевим полем. Для еліптичних кривих аналог гіпотези Рімана був доведений німецьким математиком Х. Хассе в 1930-х роках і трохи пізніше для кривих будь-якого роду Вейлем. У зв'язку з цим Вейль, розпочавши побудову геометрії алгебри над довільними полями, заклав основи абстрактної геометрії алгебри. Французький математик Ж. П. Серр у 1950-х роках став застосовувати в геометрії алгебри теорію пучків.
Суворі теоретичні підстави та зручний формалізм дозволили по-новому поглянути на класичні проблеми геометрії алгебри. Однак деякі проблеми поки (2003) не піддаються вирішенню, наприклад, доказ або спростування гіпотези Ходжа про цикли алгебри або проблема раціональності для гладких кубічних гіперповерхностей розмірності 4 і вище.
Алгебраїчна геометрія застосовується в теорії чисел, теорії груп, теорії диференціальних рівнянь, функціональному аналізі, теоретичній фізиці та теорії кодування.
Літ.: Хартсхорн Р. Алгебраїчна геометрія. М., 1981; Гріффітс Ф., Харріс Дж. Принципи алгебраїчної геометрії: У 2 т. М., 1983; Шафаревич І. Р. Основи алгебраїчної геометрії: У 2 т. 2-ге вид. М., 1988.