Асиметрія розподілу

Як уже зазначалося в § 5.3, якщо більша частина сукупності розташована лівіше від центру розподілу, має місце лівостороння асиметрія (0, то спостерігається правостороння асиметрія (скошеність вправо). При цьому для правосторонньої асиметрії виконується нерівність> Me & Mo;а для лівої -0 - для ряду розподілу характерна позитивна асиметрія (правостороння скошеність - більш довга гілка вправо);

§ = 0 - симетричний розподіл, так як варіанти рівновіддалені від і мають однакову частоту, тому = 0.

Оцінка ступеня суттєвості асиметрії дається за допомогою середньої квадратичної помилки, яка залежить від обсягу спостереженьnі розраховується за формулою:

=

Якщо асиметрія істотна і розподіл ознаки в сукупності не є симетричним.

Якщо асиметрія несуттєва, її наявність пояснюється впливом випадкових факторів.

Ексцес розподілу

Для симетричних розподілів розраховується показникексцесу (гостровершинності). Термін «ексцес» походить від латів. "excssus" - відступ, надмірність.

Ексцес - це гостроверхість або плосковершинність розподілу в порівнянні з симетричним розподілом при тій же силі варіації.

Іншими словами, ексцес є відхиленням вершини емпіричного розподілу вниз або вгору від вершини кривої симетричного (нормального) розподілу. При цьому ексцес визначається тільки для симетричних та помірно асиметричних розподілів.

Показник ексцесу заснований на використанні центрального моменту четвертого порядку і розраховується за формулою:

де – центральний момент четвертого порядку.

Знак коефіцієнтавизначає вид розподілу:

§ якщо - плосковершинний розподіл;

§ якщо – симетричний розподіл;

§ якщо - гостроверховий розподіл.

На рис. 6.4 представлені різні види розподілу залежно від значень показника ексцесу.

Мал. 6.4. Ексцес розподілу

Наприклад, при негативній величині ексцесу розподіл є плосковершинним порівняно з нормальним розподілом. Граничним значенням негативного ексцесу є значення.

При позитивній величині ексцесу, розподіл більш гострий, ніж нормальний. Розмір позитивного ексцесу є нескінченною.

У симетричному (нормальному) розподілі

Середня квадратична помилка ексцесу залежить від кількості спостережень n і розраховується за такою формулою:

Якщо відношення набуває значення, то відхилення від симетричного розподілу вважається суттєвим. Це свідчить про суттєвий характер ексцесу.

Оцінка суттєвості показників асиметрії та ексцесу дозволяє зробити висновок про те, чи можна віднести цей емпіричний розподіл до типу нормального розподілу.

Контрольні питання

1. Що розуміють під варіацією ознаки та чим викликана необхідність її вивчення?

2. Назвіть абсолютні та відносні показники варіації, дайте їх характеристику.

3. Перерахуйте властивості дисперсії.

4. Сформулюйте «правило трьох сигм».

5. У разі сукупність одиниць вважається неоднорідною?

6. Як визначаються середня величина та дисперсія альтернативної ознаки?

7. У чому полягає правило складання дисперсій?

8. З якою метою використовуються різні види дисперсій?

9. Як оцінюють тіснотузв'язки між ознаками?

10. Які показники структури розподілу вам відомі?

11. Які показники форми розподілу вам відомі?

12. Дайте визначення поняття моментів розподілу. Які моменти розподілу ви знаєте?

13. У чому полягає метод моментів?

14. Розкажіть про асиметрію розподілу та методи її оцінки.

15. Що називають ексцесом розподілу?

16. З якою метою застосовується оцінка суттєвості показників асиметрії та ексцесу?

---