Центральні та нецентральні поверхні
Розділ III
Загальна теорія поверхонь другого порядку
Розглянемо багаточлен ступеня 2 від трьох невідомих
(1)
Інваріанти загальних ортогональних перетворень ПДСК у просторі багаточлена (1)
Інваріанти повороту та перенесення
Афінні властивості поверхонь другого порядку. Перетин поверхонь і прямий.
Розглянемо поверхню другого порядку
(2)
Розглянемо поверхню з рівнянням (2) та пряму у просторі
(4)
Розглянемо різні випадки перетину прямої та поверхні: вирішуємо: (4) підставляємо в (2), отримаємо:
(5)
(6)
Знайдемо точки перетину, тобто. рішення рівняння (5)
I. P=0 (5)-> (5.1)
(7)
Якщо пряма (4) задовольняють умові (7), то вона називається прямою асимптотичного напряму щодо поверхні з рівнянням (2).
Рівняння (5), різні рішення
I.1. Q≠0
В цьому випадку пряма (4) перетинає поверхню (2) в одній точці.
I.2. Q=0 R≠0
тобто. пряма не має точок перетину з поверхнею, якщо вона має асимптотичне напрямок (удовл (7)), вона є асимптотою.
I.3. Q=R=0
ур-е (5)-> , тобто. - Рішення (5)
все точки лежать на прямий є точками перетину з поверхнею, тобто. пряма (4) повністю лежить на поверхні і вона називає прямолінійної утворюючої поверхні.
Конус асимптотичних напрямків та асимптотичний конус поверхонь.
Нехай такі прямі проходять через т. М0.
-> в (7) і ділимо наt2:
(8)
(8) –рівняння конічної поверхні другого порядку з вершиною М0.
Визначення. Конічна поверхня (8) називається конусом асимптотичних напрямків поверхні з рівнянням (2).
Будь-яка пряма асимптотичного напрями (удовл (7)), що проходить через т.м0 лежить цьому конусі.
Визначення. Якщо т.М0 збігається з центром поверхні другого порядку, то конус асимптотичних напрямків (8) називається асимптотичним конусом поверхні другого порядку.
II. P≠0 прямий неасимтотичного спрямування щодо поверхні
II.1.
тоді пряма (4) перетинає поверхню у двох точках і утворює хорду
рівняння (5) має 2 корені
II.2.
Пряма дотична, вона стосується поверхні другого порядку.
II.3.
Пряма не має точок перетину з поверхнею другого порядку.
Дотична площина до поверхні другого порядку
Розглянемо докладніше про випадок II.2.
Нехай – точка торкання => - належить поверхні (2)
(*)
Для дотичної прямий має задовольняти (*)
--> (*)
(*)=> (**)
=>
(**)=> (9)
Рівнянню (9) повинна задовольняти будь-яка пряма, що стосується поверхні т.М0.
(x;y;z)– це координати поточної точки прямої, що стосується поверхні т.М0, т.к. це рівняння площини => всі такі прямі укладаються в цю площину, вона називається дотичною площиною поверхні т.М0.
Центр поверхні другого порядку.
Центральні та нецентральні поверхні.
Визначення. Точка простору називається центром поверхні другого порядку, якщо будь-яка хордаповерхні, що проходить через цю точку, ділиться в цій точці навпіл.
Теорема 1. ТочкаМ0(x0;y0;z0) – центр поверхні з рівнянням (2) виконуються умови , ,
(10)
=> НехайM0 – центр
M1M2
M0 – середина хордиM1M2=>
t1 іt2 - коріння рівняння (5)
за т. ВієтаQ=0 (т.к.)
(*)
Розглянемо 3 лінійно незалежні неасимптотичні вектори
; ; і розглянемо хорди цих напрямів, що проходять через т.M0, їм всіх виконується рівність (*)
(**)
Питання: як знайтиF10,F20,F30? (**) - Система однорідних лінійних рівнянь наF10,F20,F30. Розглянемо визначник цієї системи
, т.к. 3 вектори л/н,
=> по т. Крамера отримуємо, що
- Єдине рішення.
Q=0=(т.Вієта. ур.(5))=>
=> ; ; =>M0 – Центр.
Поверхня, яка має єдиний центр, називається центральною.
(10):
Нехай
Тоді система (10) за теоремою Крамера має єдине рішення, поверхня має один центр. Якщо , то поверхня нецентральна. Така поверхня може мати центру, мати пряму центрів, мати площину центрів.