Джордж Буль та алгебра Буля, Контент-платформа

джордж

Тема: Джордж Буль та алгебра Буля

буля

Лінкольн, Лінкольншир, Англія

Баллінтемпл, графство Корк, Ірландія

Англія

Математика, Логіка, Філософія математики

Королівський коледж у Корці

Булева алгебра, Булева функція

Лише до сімнадцяти років Буль дійшов вищої математики, просуваючись повільно через відсутність дієвої допомоги.

З шістнадцяти років Буль почав працювати помічником вчителя в приватній школі в Донкастері і так чи інакше продовжував викладання на різних посадах протягом усього життя. Він був одружений (з 1855 р.) з Мері Еверест (з. Еверест-Буль), яка також займалася наукою і викладала, а після смерті чоловіка багато сил приділила популяризації його внеску в логіку.

Чотири їхні доньки здобули популярність як вчені (геометр Алісія, хімік Люсі), або члени вчених сімей (Мері, дружина математика і письменника, і Маргарет, мати математика Дж. І. Тейлора), а п'ята - Етель Ліліан Войнич - прославилася як письменник.

Буль помер на п'ятдесятому році життя від запалення легенів.

Цей список доповнює публікація 1848 року в "Журналі механіка" (Mechanic's Magazine) про математичні основи логіки.

За винятком Огастеса де Моргана, Буль був, мабуть, першим після Джона Валліса математиком, який звернувся до логічної проблематики.

Вчений говорив про символічний метод, який він застосовував як до вивчення диференціювання та інтегрування, так і до логічного висновку та до теоретико-імовірнісних міркувань. Саме він побудував один із розділів формальної логіки у вигляді деякої "алгебри", аналогічної алгебрі чисел, але не зводиться до неї.

Ідеї ​​застосування символічного методу до логіки вперше висловлені їм устатті "Математичний аналіз логіки" (1847). Не задоволений отриманими в ній результатами, Буль висловлював побажання, щоб про його погляди судили по трактату «Дослідження законів мислення, на яких ґрунтуються математичні теорії логіки та ймовірностей» (1854). Буль не вважав логіку розділом математики, але знаходив глибоку аналогію між символічним методом алгебри та символічним методом уявлення логічних форм та силогізмів.

Одиницею Буль позначав універсум мислимих об'єктів, буквеними символами - вибірки з нього, пов'язані зі звичайними прикметниками та іменниками (так, якщоx="рогаті", аy="вівці", послідовний вибір x та y з одиниці дасть клас рогатих овець). Буль показав, що символіка такого роду підпорядковується тим самим законам, що й алгебраїчна, з чого випливало, що їх можна складати, віднімати, множити і навіть ділити (так, різниця1-xпредставляє операцію вибірки з універсуму всіх нерогатих об'єктів, а твір(1-x)(1-y)— вибірку об'єктів, які є ні рогатими, ні вівцями).

У такій символіці висловлювання можуть бути зведені до форми рівнянь, а висновок із двох посилок силогізму — отримано шляхом виключення середнього терміну за звичайними правилами алгебри.

Ще оригінальнішою і найпримітнішою була частина його системи, представленої в «Законах мислення. », Що утворює загальний символічний метод логічного виведення. Буль показав, як з будь-якої кількості висловлювань, що включають будь-яку кількість термінів, вивести будь-який висновок, що випливає з цих висловлювань, шляхом суто символічних маніпуляцій.

Друга частина Законів мислення. » містить аналогічну спробу виявити загальний метод у обчисленні ймовірностей, що дозволяє із заданих ймовірностей сукупностіподій визначити ймовірність будь-якої іншої події, що логічно пов'язана з ними.

Ці праці зробили важливий внесок у відповідні розділи математики і водночас продемонстрували глибоке розуміння Булем філософії свого предмета.

Хоча крім математичних і логічних робіт Буль публікувався мало, його праці виявляють широке і глибоке знайомство з літературою. Його улюбленим поетом був Данте, причому "Рай" подобався йому більше, ніж "Пекло".

    "Математичний аналіз логіки" (1847); "Логічний обчислення" (1848); «Дослідження законів мислення» (1854)

Бульовою алгеброюназивається непорожня безліч A з двома бінарними операціями (аналог кон'юнкції), (аналог диз'юнкції), унарною операцією (аналог заперечення) і двома виділеними елементами: 0 (або Брехня) і 1 (або Істина) такими, що для всіх a, b і c з множини A вірні такі аксіоми:

Перші три аксіоми означають, що (A, , ) є ґратами. Таким чином, булева алгебра може бути визначена як дистрибутивна решітка, в якій виконані дві останні аксіоми. Структура, у якій виконуються всі аксіоми, крім передостанньої, називається псевдобульовою алгеброю.